ГДЗ: Упражнение 1134 - § 68 (Сложение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта: 1) либо дама, либо валет; 2) либо шестёрка, либо туз; 3) либо семёрка треф, либо карта бубновой масти; 4) либо туз красной масти, либо карта трефовой масти? Решить задачу двумя способами.
1)
либо дама, либо валет
Ответ
Способ 1: Использование классического определения вероятности.
Шаг 1: Определяем общее число исходов. Общее число карт в колоде \( n = 36 \).
Шаг 2: Определяем число благоприятных исходов. Пусть событие \( A \) — вынуть даму. В колоде 4 дамы (бубны, черви, трефы, пики), т.е. \( m_A = 4 \). Пусть событие \( B \) — вынуть валета. В колоде 4 валета, т.е. \( m_B = 4 \). Событие "либо дама, либо валет" является суммой событий \( A \) и \( B \). Так как нельзя одновременно вынуть карту, которая является и дамой, и валетом, события \( A \) и \( B \) являются несовместными. Число благоприятных исходов для события \( A + B \) равно сумме числа благоприятных исходов для \( A \) и \( B \): \( m_{A+B} = m_A + m_B = 4 + 4 = 8 \).
Шаг 3: Вычисляем вероятность. Вероятность события \( A + B \) равна: \( P(A + B) = \frac{m_{A+B}}{n} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \).
Способ 2: Использование теоремы сложения вероятностей для несовместных событий.
Шаг 2: Применяем теорему сложения. Так как события \( A \) и \( B \) несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей: \( P(A + B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \).
Ответ: \( \frac{2}{9} \)
2)
либо шестёрка, либо туз
Ответ
Способ 1: Использование классического определения вероятности.
Шаг 1: Определяем общее число исходов. Общее число карт \( n = 36 \).
Шаг 2: Определяем число благоприятных исходов. Пусть событие \( A \) — вынуть шестёрку (\( m_A = 4 \)). Пусть событие \( B \) — вынуть туз (\( m_B = 4 \)). События \( A \) и \( B \) несовместны. Число благоприятных исходов для \( A + B \): \( m_{A+B} = m_A + m_B = 4 + 4 = 8 \).
Способ 1: Использование классического определения вероятности.
Шаг 1: Определяем общее число исходов. Общее число карт \( n = 36 \).
Шаг 2: Определяем число благоприятных исходов. Пусть событие \( A \) — вынуть семёрку треф. Это одна карта, т.е. \( m_A = 1 \). Пусть событие \( B \) — вынуть карту бубновой масти. Бубновая масть состоит из 9 карт (от 6 до туза), т.е. \( m_B = 9 \). События \( A \) и \( B \) несовместны, так как семёрка треф не может быть картой бубновой масти. Число благоприятных исходов для \( A + B \): \( m_{A+B} = m_A + m_B = 1 + 9 = 10 \).
4)
либо туз красной масти, либо карта трефовой масти
Ответ
Способ 1: Использование классического определения вероятности.
Шаг 1: Определяем общее число исходов. Общее число карт \( n = 36 \).
Шаг 2: Определяем число благоприятных исходов. Пусть событие \( A \) — вынуть туз красной масти. Красные масти — это бубны и черви. Значит, это 2 карты (туз бубновый и туз червовый), т.е. \( m_A = 2 \). Пусть событие \( B \) — вынуть карту трефовой масти. Трефовая масть — это 9 карт, т.е. \( m_B = 9 \). События \( A \) и \( B \) несовместны, так как туз красной масти не может быть картой трефовой масти. Число благоприятных исходов для \( A + B \): \( m_{A+B} = m_A + m_B = 2 + 9 = 11 \).
Сумма событий \( A \) и \( B \) — это событие, состоящее в наступлении либо только события \( A \), либо только события \( B \), либо событий \( A \) и \( B \) одновременно. Например, при двух выстрелах по мишени событие \( A + B \) — попадание в мишень хотя бы при одном из выстрелов (т.е. \( A \) или \( B \) или \( A \) и \( B \)).
Событие, противоположное A (\( \bar{A} \))
Событие, противоположное событию \( A \), обозначается как \( \bar{A} \) и означает, что событие \( A \) не наступило. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \).
\( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \)
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
Если события \( A \) и \( B \) несовместны (т.е. не могут произойти одновременно, \( A \cap B = \emptyset \)), то вероятность наступления хотя бы одного из них (суммы событий) равна сумме их вероятностей.
\( P(A + B) = P(A) + P(B) \)
Теорема сложения вероятностей для произвольных событий
Вероятность суммы двух произвольных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного наступления (пересечения).
\( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B) \)
Классическое определение вероятности
Вероятность события \( A \) равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию \( A \), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов.
\( P(A) = \frac{m}{n} \)
Формула комбинаторики (Сочетания)
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов без учета порядка (сочетания).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
