ГДЗ: Упражнение 1142 - § 68 (Сложение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
В коробке лежат 6 белых и 5 красных шаров. Наугад вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один: 1) белый шар; 2) красный шар.
1)
белый шар
Ответ
Данные: Белых шаров (\( Б \)): 6 Красных шаров (\( К \)): 5 Общее число шаров (\( N \)): \( 6 + 5 = 11 \) Вынимают \( k = 4 \) шара.
Метод: Использование противоположного события.
Шаг 1: Определяем общее число исходов. Общее число способов выбрать 4 шара из 11: \( n = C_{11}^4 = \frac{11!}{4! (11-4)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330 \).
Шаг 2: Определяем событие и противоположное ему. Пусть событие \( A \) — "среди 4 вынутых шаров окажется по крайней мере один белый шар". Противоположное событие \( \bar{A} \) — "среди 4 вынутых шаров нет ни одного белого шара", то есть все 4 шара красные.
Шаг 3: Вычисляем число благоприятных исходов для противоположного события. Число способов выбрать 4 красных шара из 5: \( m_{\bar{A}} = C_5^4 = \frac{5!}{4! (5-4)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \).
Данные: Белых шаров (\( Б \)): 6, Красных шаров (\( К \)): 5. Общее \( N = 11 \). Вынимают \( k = 4 \). Общее число исходов \( n = C_{11}^4 = 330 \).
Метод: Использование противоположного события.
Шаг 1: Определяем событие и противоположное ему. Пусть событие \( B \) — "среди 4 вынутых шаров окажется по крайней мере один красный шар". Противоположное событие \( \bar{B} \) — "среди 4 вынутых шаров нет ни одного красного шара", то есть все 4 шара белые.
Шаг 2: Вычисляем число благоприятных исходов для противоположного события. Число способов выбрать 4 белых шара из 6: \( m_{\bar{B}} = C_6^4 = \frac{6!}{4! (6-4)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \).
Сумма событий \( A \) и \( B \) — это событие, состоящее в наступлении либо только события \( A \), либо только события \( B \), либо событий \( A \) и \( B \) одновременно. Например, при двух выстрелах по мишени событие \( A + B \) — попадание в мишень хотя бы при одном из выстрелов (т.е. \( A \) или \( B \) или \( A \) и \( B \)).
Событие, противоположное A (\( \bar{A} \))
Событие, противоположное событию \( A \), обозначается как \( \bar{A} \) и означает, что событие \( A \) не наступило. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \).
\( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \)
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
Если события \( A \) и \( B \) несовместны (т.е. не могут произойти одновременно, \( A \cap B = \emptyset \)), то вероятность наступления хотя бы одного из них (суммы событий) равна сумме их вероятностей.
\( P(A + B) = P(A) + P(B) \)
Теорема сложения вероятностей для произвольных событий
Вероятность суммы двух произвольных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного наступления (пересечения).
\( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B) \)
Классическое определение вероятности
Вероятность события \( A \) равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию \( A \), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов.
\( P(A) = \frac{m}{n} \)
Формула комбинаторики (Сочетания)
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов без учета порядка (сочетания).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
