ГДЗ: Упражнение 1141 - § 68 (Сложение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один: 1) белый шар; 2) чёрный шар.
1)
белый шар
Ответ
Данные: Белых шаров (\( Б \)): 5 Чёрных шаров (\( Ч \)): 7 Общее число шаров (\( N \)): \( 5 + 7 = 12 \) Вынимают \( k = 3 \) шара.
Метод: Использование противоположного события.
Шаг 1: Определяем общее число исходов. Общее число способов выбрать 3 шара из 12 (сочетания): \( n = C_{12}^3 = \frac{12!}{3! (12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220 \).
Шаг 2: Определяем событие и противоположное ему. Пусть событие \( A \) — "среди 3 вынутых шаров окажется по крайней мере один белый шар". Противоположное событие \( \bar{A} \) — "среди 3 вынутых шаров нет ни одного белого шара", то есть все 3 шара чёрные.
Шаг 3: Вычисляем число благоприятных исходов для противоположного события. Число способов выбрать 3 чёрных шара из 7: \( m_{\bar{A}} = C_7^3 = \frac{7!}{3! (7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 7 \cdot 5 = 35 \).
Данные: Белых шаров (\( Б \)): 5, Чёрных шаров (\( Ч \)): 7. Общее \( N = 12 \). Вынимают \( k = 3 \). Общее число исходов \( n = C_{12}^3 = 220 \).
Метод: Использование противоположного события.
Шаг 1: Определяем событие и противоположное ему. Пусть событие \( B \) — "среди 3 вынутых шаров окажется по крайней мере один чёрный шар". Противоположное событие \( \bar{B} \) — "среди 3 вынутых шаров нет ни одного чёрного шара", то есть все 3 шара белые.
Шаг 2: Вычисляем число благоприятных исходов для противоположного события. Число способов выбрать 3 белых шара из 5: \( m_{\bar{B}} = C_5^3 = \frac{5!}{3! (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \).
Сумма событий \( A \) и \( B \) — это событие, состоящее в наступлении либо только события \( A \), либо только события \( B \), либо событий \( A \) и \( B \) одновременно. Например, при двух выстрелах по мишени событие \( A + B \) — попадание в мишень хотя бы при одном из выстрелов (т.е. \( A \) или \( B \) или \( A \) и \( B \)).
Событие, противоположное A (\( \bar{A} \))
Событие, противоположное событию \( A \), обозначается как \( \bar{A} \) и означает, что событие \( A \) не наступило. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \).
\( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \)
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
Если события \( A \) и \( B \) несовместны (т.е. не могут произойти одновременно, \( A \cap B = \emptyset \)), то вероятность наступления хотя бы одного из них (суммы событий) равна сумме их вероятностей.
\( P(A + B) = P(A) + P(B) \)
Теорема сложения вероятностей для произвольных событий
Вероятность суммы двух произвольных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного наступления (пересечения).
\( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B) \)
Классическое определение вероятности
Вероятность события \( A \) равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию \( A \), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов.
\( P(A) = \frac{m}{n} \)
Формула комбинаторики (Сочетания)
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов без учета порядка (сочетания).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
