ГДЗ: Упражнение 1136 - Параграф § 68 (Сложение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1136 упражнение:

В папке находятся 15 билетов спортивной лотереи, 20 билетов художественной лотереи и 30 билетов денежно-вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом: 1) либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи; 2) либо спортивной, либо художественной лотереи; 3) либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи. Решить задачу двумя способами.

1) либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи

Ответ

Данные:
Спортивных (\( С \)): 15
Художественных (\( Х \)): 20
Денежно-вещевых (\( Д \)): 30
Общее число билетов (\( n \)): \( 15 + 20 + 30 = 65 \).

Способ 1: Использование классического определения вероятности.

Шаг 1: Определяем число благоприятных исходов.
Пусть событие \( A \) — "либо спортивной, либо денежно-вещевой".
Число благоприятных исходов: \( m_A = m_С + m_Д = 15 + 30 = 45 \).
Шаг 2: Вычисляем вероятность.
\( P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{45}{65} = \frac{9}{13} \).

Способ 2: Использование теоремы сложения вероятностей для несовместных событий.

Шаг 1: Вычисляем вероятности отдельных событий.
\( P(С) = \frac{15}{65} = \frac{3}{13} \).
\( P(Д) = \frac{30}{65} = \frac{6}{13} \).
События \( С \) и \( Д \) несовместны.
Шаг 2: Применяем теорему сложения.
\( P(A) = P(С) + P(Д) = \frac{15}{65} + \frac{30}{65} = \frac{45}{65} = \frac{9}{13} \).

Ответ: \( \frac{9}{13} \)

2) либо спортивной, либо художественной лотереи

Ответ

Данные:
Спортивных (\( С \)): 15, Художественных (\( Х \)): 20, Денежно-вещевых (\( Д \)): 30. Общее \( n = 65 \).

Способ 1: Использование классического определения вероятности.

Шаг 1: Определяем число благоприятных исходов.
Пусть событие \( A \) — "либо спортивной, либо художественной".
Число благоприятных исходов: \( m_A = m_С + m_Х = 15 + 20 = 35 \).
Шаг 2: Вычисляем вероятность.
\( P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13} \).

Способ 2: Использование теоремы сложения вероятностей для несовместных событий.

Шаг 1: Вычисляем вероятности отдельных событий.
\( P(С) = \frac{15}{65} = \frac{3}{13} \).
\( P(Х) = \frac{20}{65} = \frac{4}{13} \).
События \( С \) и \( Х \) несовместны.
Шаг 2: Применяем теорему сложения.
\( P(A) = P(С) + P(Х) = \frac{15}{65} + \frac{20}{65} = \frac{35}{65} = \frac{7}{13} \).

Ответ: \( \frac{7}{13} \)

3) либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи

Ответ

Данные:
Спортивных (\( С \)): 15, Художественных (\( Х \)): 20, Денежно-вещевых (\( Д \)): 30. Общее \( n = 65 \).

Способ 1: Использование классического определения вероятности.

Шаг 1: Определяем число благоприятных исходов.
Пусть событие \( A \) — "либо художественной, либо денежно-вещевой".
Число благоприятных исходов: \( m_A = m_Х + m_Д = 20 + 30 = 50 \).
Шаг 2: Вычисляем вероятность.
\( P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{50}{65} = \frac{10}{13} \).

Способ 2: Использование теоремы сложения вероятностей для несовместных событий.

Шаг 1: Вычисляем вероятности отдельных событий.
\( P(Х) = \frac{20}{65} = \frac{4}{13} \).
\( P(Д) = \frac{30}{65} = \frac{6}{13} \).
События \( Х \) и \( Д \) несовместны.
Шаг 2: Применяем теорему сложения.
\( P(A) = P(Х) + P(Д) = \frac{20}{65} + \frac{30}{65} = \frac{50}{65} = \frac{10}{13} \).

Ответ: \( \frac{10}{13} \)

Что применять при решении

Сумма событий (A + B)

Сумма событий \( A \) и \( B \) — это событие, состоящее в наступлении либо только события \( A \), либо только события \( B \), либо событий \( A \) и \( B \) одновременно. Например, при двух выстрелах по мишени событие \( A + B \) — попадание в мишень хотя бы при одном из выстрелов (т.е. \( A \) или \( B \) или \( A \) и \( B \)).

Событие, противоположное A (\( \bar{A} \))

Событие, противоположное событию \( A \), обозначается как \( \bar{A} \) и означает, что событие \( A \) не наступило. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \).

\( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \)

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий

Если события \( A \) и \( B \) несовместны (т.е. не могут произойти одновременно, \( A \cap B = \emptyset \)), то вероятность наступления хотя бы одного из них (суммы событий) равна сумме их вероятностей.

\( P(A + B) = P(A) + P(B) \)

Теорема сложения вероятностей для произвольных событий

Вероятность суммы двух произвольных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного наступления (пересечения).

\( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B) \)

Классическое определение вероятности

Вероятность события \( A \) равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию \( A \), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов.

\( P(A) = \frac{m}{n} \)

Формула комбинаторики (Сочетания)

Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов без учета порядка (сочетания).

\( C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!} \)

Другие упражнения из параграфа § 68

1134 1135 1136 1137 1138 1139 1140 1141 1142 1143 1144

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 12
Параграф: § 68 — Сложение вероятностей
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.