ГДЗ: Упражнение 1144 - § 68 (Сложение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
В студенческой группе 24 человека, среди которых только 6 девушек. Случайным образом из числа всех студентов выбирают троих на профсоюзную конференцию. Найти вероятность того, что среди них окажется: 1) по крайней мере одна девушка; 2) по крайней мере один юноша.
1)
по крайней мере одна девушка
Ответ
Данные: Общее число студентов (\( N \)): 24 Девушек (\( Д \)): 6 Юношей (\( Ю \)): \( 24 - 6 = 18 \) Выбирают \( k = 3 \) человека.
Метод: Использование противоположного события.
Шаг 1: Определяем общее число исходов. Общее число способов выбрать 3 человека из 24: \( n = C_{24}^3 = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4 \cdot 23 \cdot 22 = 2024 \).
Шаг 2: Определяем событие и противоположное ему. Пусть событие \( A \) — "среди 3 выбранных окажется по крайней мере одна девушка". Противоположное событие \( \bar{A} \) — "среди 3 выбранных нет ни одной девушки", то есть все 3 выбранных — юноши.
Шаг 3: Вычисляем число благоприятных исходов для противоположного события. Число способов выбрать 3 юношей из 18: \( m_{\bar{A}} = C_{18}^3 = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 17 \cdot 16 = 816 \).
Упрощение дроби: Разделим числитель и знаменатель на 8: \( \frac{1208 \div 8}{2024 \div 8} = \frac{151}{253} \).
Ответ: \( \frac{151}{253} \)
2)
по крайней мере один юноша
Ответ
Данные: Общее число студентов (\( N \)): 24, Девушек (\( Д \)): 6, Юношей (\( Ю \)): 18. Выбирают \( k = 3 \). Общее число исходов \( n = C_{24}^3 = 2024 \).
Метод: Использование противоположного события.
Шаг 1: Определяем событие и противоположное ему. Пусть событие \( B \) — "среди 3 выбранных окажется по крайней мере один юноша". Противоположное событие \( \bar{B} \) — "среди 3 выбранных нет ни одного юноши", то есть все 3 выбранных — девушки.
Шаг 2: Вычисляем число благоприятных исходов для противоположного события. Число способов выбрать 3 девушек из 6: \( m_{\bar{B}} = C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \).
Упрощение дроби: Разделим числитель и знаменатель на 4: \( \frac{2004 \div 4}{2024 \div 4} = \frac{501}{506} \).
Ответ: \( \frac{501}{506} \)
Что применять при решении
Сумма событий (A + B)
Сумма событий \( A \) и \( B \) — это событие, состоящее в наступлении либо только события \( A \), либо только события \( B \), либо событий \( A \) и \( B \) одновременно. Например, при двух выстрелах по мишени событие \( A + B \) — попадание в мишень хотя бы при одном из выстрелов (т.е. \( A \) или \( B \) или \( A \) и \( B \)).
Событие, противоположное A (\( \bar{A} \))
Событие, противоположное событию \( A \), обозначается как \( \bar{A} \) и означает, что событие \( A \) не наступило. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \).
\( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \)
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
Если события \( A \) и \( B \) несовместны (т.е. не могут произойти одновременно, \( A \cap B = \emptyset \)), то вероятность наступления хотя бы одного из них (суммы событий) равна сумме их вероятностей.
\( P(A + B) = P(A) + P(B) \)
Теорема сложения вероятностей для произвольных событий
Вероятность суммы двух произвольных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного наступления (пересечения).
\( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B) \)
Классическое определение вероятности
Вероятность события \( A \) равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию \( A \), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов.
\( P(A) = \frac{m}{n} \)
Формула комбинаторики (Сочетания)
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов без учета порядка (сочетания).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
