ГДЗ: Упражнение 1143 - § 68 (Сложение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Известно, что среди 100 деталей 5 бракованных. Наугад выбирают 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажется: 1) хотя бы одна бракованная деталь; 2) хотя бы одна не бракованная деталь.
1)
хотя бы одна бракованная деталь
Ответ
Данные: Общее число деталей (\( N \)): 100 Бракованных деталей (\( Б \)): 5 Не бракованных деталей (\( \bar{Б} \)): \( 100 - 5 = 95 \) Выбирают \( k = 4 \) детали.
Метод: Использование противоположного события.
Шаг 1: Определяем общее число исходов. Общее число способов выбрать 4 детали из 100: \( n = C_{100}^4 = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 33 \cdot 49 \cdot 97 = 3 921 225 \).
Шаг 2: Определяем событие и противоположное ему. Пусть событие \( A \) — "среди 4 выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная деталь". Противоположное событие \( \bar{A} \) — "среди 4 выбранных деталей нет ни одной бракованной детали", то есть все 4 детали не бракованные.
Шаг 3: Вычисляем число благоприятных исходов для противоположного события. Число способов выбрать 4 не бракованные детали из 95: \( m_{\bar{A}} = C_{95}^4 = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93 \cdot 92}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 95 \cdot 47 \cdot 31 \cdot 23 = 3 241 155 \).
Данные: Общее число деталей (\( N \)): 100, Бракованных (\( Б \)): 5, Не бракованных (\( \bar{Б} \)): 95. Выбирают \( k = 4 \). Общее число исходов \( n = C_{100}^4 = 3 921 225 \).
Метод: Использование противоположного события.
Шаг 1: Определяем событие и противоположное ему. Пусть событие \( B \) — "среди 4 выбранных деталей окажется хотя бы одна не бракованная деталь". Противоположное событие \( \bar{B} \) — "среди 4 выбранных деталей нет ни одной не бракованной детали", то есть все 4 детали бракованные.
Шаг 2: Вычисляем число благоприятных исходов для противоположного события. Число способов выбрать 4 бракованные детали из 5: \( m_{\bar{B}} = C_5^4 = 5 \).
Сумма событий \( A \) и \( B \) — это событие, состоящее в наступлении либо только события \( A \), либо только события \( B \), либо событий \( A \) и \( B \) одновременно. Например, при двух выстрелах по мишени событие \( A + B \) — попадание в мишень хотя бы при одном из выстрелов (т.е. \( A \) или \( B \) или \( A \) и \( B \)).
Событие, противоположное A (\( \bar{A} \))
Событие, противоположное событию \( A \), обозначается как \( \bar{A} \) и означает, что событие \( A \) не наступило. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. \( P(A) + P(\bar{A}) = 1 \).
\( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \)
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
Если события \( A \) и \( B \) несовместны (т.е. не могут произойти одновременно, \( A \cap B = \emptyset \)), то вероятность наступления хотя бы одного из них (суммы событий) равна сумме их вероятностей.
\( P(A + B) = P(A) + P(B) \)
Теорема сложения вероятностей для произвольных событий
Вероятность суммы двух произвольных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного наступления (пересечения).
\( P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B) \)
Классическое определение вероятности
Вероятность события \( A \) равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию \( A \), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов.
\( P(A) = \frac{m}{n} \)
Формула комбинаторики (Сочетания)
Число способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов без учета порядка (сочетания).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
