ГДЗ: Упражнение 1145 - § 69 (Независимые события. Умножение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

\( P(A) \cdot P(B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{13} = \frac{2 \cdot 10}{5 \cdot 13} = \frac{20}{65} \)

\( \frac{20}{65} = \frac{4}{13} \) (сокращаем на 5)

Нам дано \( P(AB) = \frac{4}{13} \).
\( P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{13} \).
Так как \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \), события \( A \) и \( B \) являются независимыми.

\( P(A) \cdot P(B) = 0,75 \cdot 0,2 = 0,15 \)

Нам дано \( P(AB) = 0,15 \).
Так как \( P(AB) = 0,15 \) и \( P(A) \cdot P(B) = 0,15 \), то \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \). События \( A \) и \( B \) являются независимыми.

\( P(A) \cdot P(B) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06 \)

Нам дано \( P(AB) = 0,6 \).
Так как \( 0,6 \neq 0,06 \), то \( P(AB) \neq P(A) \cdot P(B) \). События \( A \) и \( B \) являются зависимыми.

\( P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{12} = \frac{3 \cdot 7}{14 \cdot 12} = \frac{21}{168} \)

Сократим дробь \( \frac{21}{168} \) на 21 (так как \( 168 = 21 \cdot 8 \)).
\( \frac{21}{168} = \frac{1}{8} \)

Нам дано \( P(AB) = \frac{1}{4} \).
Так как \( \frac{1}{4} \neq \frac{1}{8} \), то \( P(AB) \neq P(A) \cdot P(B) \). События \( A \) и \( B \) являются зависимыми.