ГДЗ: Упражнение 1155 - Параграф § 69 (Независимые события. Умножение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1155 упражнение:

Имеются 3 партии деталей. Вероятность того, что вынутая из первой партии деталь окажется бракованной, равна 0,1. Вероятность того, что бракованной будет вынутая из второй партии деталь, равна 0,2. Вероятность того, что бракованной будет вынутая из третьей партии деталь, равна 0,3. Случайным образом из каждой партии изымают по одной детали. Найти вероятность того, что: 1) все 3 детали окажутся бракованными; 2) все 3 детали окажутся небракованными; 3) хотя бы одна деталь окажется небракованной; 4) хотя бы одна деталь окажется бракованной.

1) Все 3 детали окажутся бракованными.

Ответ

Обозначим: \( Б_1, Б_2, Б_3 \) — бракованная деталь из 1-й, 2-й и 3-й партий соответственно.
Вероятности: \( P(Б_1) = 0,1 \), \( P(Б_2) = 0,2 \), \( P(Б_3) = 0,3 \). События независимы.

Используем формулу умножения для независимых событий:
\( P(Б_1 Б_2 Б_3) = P(Б_1) \cdot P(Б_2) \cdot P(Б_3) \)
\( P(Б_1 Б_2 Б_3) = 0,1 \cdot 0,2 \cdot 0,3 = 0,006 \).

Ответ: Вероятность того, что все 3 детали бракованные, равна \( 0,006 \).

2) Все 3 детали окажутся небракованными.

Ответ

Обозначим: \( H_1, H_2, H_3 \) — небракованная деталь из 1-й, 2-й и 3-й партий соответственно. \( H_i = \overline{Б_i} \).

Находим вероятности небракованных деталей:
\( P(H_1) = 1 - P(Б_1) = 1 - 0,1 = 0,9 \)
\( P(H_2) = 1 - P(Б_2) = 1 - 0,2 = 0,8 \)
\( P(H_3) = 1 - P(Б_3) = 1 - 0,3 = 0,7 \)

Находим вероятность совместного наступления \( P(H_1 H_2 H_3) \):
\( P(H_1 H_2 H_3) = P(H_1) \cdot P(H_2) \cdot P(H_3) \)
\( P(H_1 H_2 H_3) = 0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,72 \cdot 0,7 = 0,504 \).

Ответ: Вероятность того, что все 3 детали небракованные, равна \( 0,504 \).

3) Хотя бы одна деталь окажется небракованной.

Ответ

Событие "хотя бы одна деталь небракованная" (\( H_1 \cup H_2 \cup H_3 \)) противоположно событию "все 3 детали бракованные" (\( Б_1 Б_2 Б_3 \)).
Используем формулу вероятности "хотя бы одного" небракованного события: \( P(H_1 \cup H_2 \cup H_3) = 1 - P(Б_1 Б_2 Б_3) \).

Находим вероятность:
По пункту 1, \( P(Б_1 Б_2 Б_3) = 0,006 \).
\( P(H_1 \cup H_2 \cup H_3) = 1 - 0,006 = 0,994 \).

Ответ: Вероятность того, что хотя бы одна деталь небракованная, равна \( 0,994 \).

4) Хотя бы одна деталь окажется бракованной.

Ответ

Событие "хотя бы одна деталь бракованная" (\( Б_1 \cup Б_2 \cup Б_3 \)) противоположно событию "все 3 детали небракованные" (\( H_1 H_2 H_3 \)).
Используем формулу вероятности "хотя бы одного" бракованного события: \( P(Б_1 \cup Б_2 \cup Б_3) = 1 - P(H_1 H_2 H_3) \).

Находим вероятность:
По пункту 2, \( P(H_1 H_2 H_3) = 0,504 \).
\( P(Б_1 \cup Б_2 \cup Б_3) = 1 - 0,504 = 0,496 \).

Ответ: Вероятность того, что хотя бы одна деталь бракованная, равна \( 0,496 \).

Что применять при решении

Определение независимых событий

События \( A \) и \( B \) называют независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей. Это ключевое условие для умножения вероятностей.

\( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \)

Вероятность противоположного события

Вероятность того, что событие \( A \) не наступит (противоположное событие \( \overline{A} \)), равна единице минус вероятность наступления события \( A \).

\( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)

Вероятность "хотя бы одного" события

Вероятность того, что хотя бы одно из \( n \) независимых событий \( A_1, A_2, \dots, A_n \) наступит, рассчитывается через вероятность противоположного события — того, что ни одно из них не наступит. Это событие \( \overline{A_1 A_2 \dots A_n} = \overline{A_1} \overline{A_2} \dots \overline{A_n} \).

\( P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1 - P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot \dots \cdot P(\overline{A_n}) \)

Другие упражнения из параграфа § 69

1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 1155

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 12
Параграф: § 69 — Независимые события. Умножение вероятностей
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.