ГДЗ: Упражнение 1146 - § 69 (Независимые события. Умножение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Наугад называется: 1) одно из первых двенадцати натуральных чисел; 2) одно из первых тринадцати натуральных чисел. Рассматриваются события: \( A \) — названное число является чётным, \( B \) — названное число кратно трём. Установить, являются ли события \( A \) и \( B \) независимыми.
1)
Наугад называется одно из первых двенадцати натуральных чисел.
Ответ
Шаг 1: Определяем пространство элементарных исходов \( \Omega \) и его размер \( |\Omega| \).
Называется одно из чисел: \( 1, 2, \dots, 12 \). Общее число исходов: \( |\Omega| = 12 \).
Шаг 2: Определяем событие \( A \) и его вероятность \( P(A) \).
Событие \( A \) — названное число является чётным: \( A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\} \). Число исходов, благоприятствующих \( A \): \( |A| = 6 \). Вероятность \( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \).
Шаг 3: Определяем событие \( B \) и его вероятность \( P(B) \).
Событие \( B \) — названное число кратно трём: \( B = \{3, 6, 9, 12\} \). Число исходов, благоприятствующих \( B \): \( |B| = 4 \). Вероятность \( P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
Шаг 4: Определяем событие \( AB \) (пересечение \( A \) и \( B \)) и его вероятность \( P(AB) \).
Событие \( AB \) — число является чётным и кратным трём (т.е., кратно 6): \( AB = \{6, 12\} \). Число исходов, благоприятствующих \( AB \): \( |AB| = 2 \). Вероятность \( P(AB) = \frac{|AB|}{|\Omega|} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
Шаг 5: Проверяем условие независимости.
Условие независимости: \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \). \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \). Так как \( P(AB) = \frac{1}{6} \) и \( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \), то \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \). События \( A \) и \( B \) независимы.
Ответ: Являются независимыми.
2)
Наугад называется одно из первых тринадцати натуральных чисел.
Ответ
Шаг 1: Определяем пространство элементарных исходов \( \Omega \) и его размер \( |\Omega| \).
Называется одно из чисел: \( 1, 2, \dots, 13 \). Общее число исходов: \( |\Omega| = 13 \).
Шаг 2: Определяем событие \( A \) и его вероятность \( P(A) \).
Событие \( A \) — названное число является чётным: \( A = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\} \). Число исходов, благоприятствующих \( A \): \( |A| = 6 \). Вероятность \( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{13} \).
Шаг 3: Определяем событие \( B \) и его вероятность \( P(B) \).
Событие \( B \) — названное число кратно трём: \( B = \{3, 6, 9, 12\} \). Число исходов, благоприятствующих \( B \): \( |B| = 4 \). Вероятность \( P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{4}{13} \).
Шаг 4: Определяем событие \( AB \) (пересечение \( A \) и \( B \)) и его вероятность \( P(AB) \).
Событие \( AB \) — число кратно 6: \( AB = \{6, 12\} \). Число исходов, благоприятствующих \( AB \): \( |AB| = 2 \). Вероятность \( P(AB) = \frac{|AB|}{|\Omega|} = \frac{2}{13} \).
Шаг 5: Проверяем условие независимости.
Условие независимости: \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \). \( P(A) \cdot P(B) = \frac{6}{13} \cdot \frac{4}{13} = \frac{24}{169} \). Сравниваем \( P(AB) = \frac{2}{13} \) с \( P(A) \cdot P(B) = \frac{24}{169} \). Для сравнения приведем \( P(AB) \) к знаменателю 169: \( \frac{2}{13} = \frac{2 \cdot 13}{13 \cdot 13} = \frac{26}{169} \). Так как \( \frac{26}{169} \neq \frac{24}{169} \), то \( P(AB) \neq P(A) \cdot P(B) \). События \( A \) и \( B \) зависимы.
Ответ: Не являются независимыми.
Что применять при решении
Определение независимых событий
События \( A \) и \( B \) называют независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей. Это ключевое условие для умножения вероятностей.
\( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \)
Вероятность противоположного события
Вероятность того, что событие \( A \) не наступит (противоположное событие \( \overline{A} \)), равна единице минус вероятность наступления события \( A \).
\( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)
Вероятность "хотя бы одного" события
Вероятность того, что хотя бы одно из \( n \) независимых событий \( A_1, A_2, \dots, A_n \) наступит, рассчитывается через вероятность противоположного события — того, что ни одно из них не наступит. Это событие \( \overline{A_1 A_2 \dots A_n} = \overline{A_1} \overline{A_2} \dots \overline{A_n} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
