ГДЗ: Упражнение 1151 - Параграф § 69 (Независимые события. Умножение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1151 упражнение:

В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй — 5 белых и 9 чёрных. Не глядя из каждой коробки вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что: 1) оба вынутых шара белые; 2) оба вынутых шара чёрные; 3) хотя бы один шар белый; 4) хотя бы один шар чёрный.

1) Оба вынутых шара белые.

Ответ

Обозначим: \( Б_1 \) — белый шар из 1-й коробки, \( Б_2 \) — белый шар из 2-й коробки.
Общее число шаров: 1-я коробка: \( 7+3=10 \); 2-я коробка: \( 5+9=14 \). События независимы.

Находим \( P(Б_1) \):
1-я коробка: 7 белых из 10. \( P(Б_1) = \frac{7}{10} \).

Находим \( P(Б_2) \):
2-я коробка: 5 белых из 14. \( P(Б_2) = \frac{5}{14} \).

Находим вероятность \( P(Б_1 Б_2) \):
\( P(Б_1 Б_2) = P(Б_1) \cdot P(Б_2) \)
\( P(Б_1 Б_2) = \frac{7}{10} \cdot \frac{5}{14} = \frac{7 \cdot 5}{10 \cdot 14} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4} = 0,25 \).

Ответ: Вероятность того, что оба вынутых шара белые, равна \( \frac{1}{4} \).

2) Оба вынутых шара чёрные.

Ответ

Обозначим: \( Ч_1 \) — чёрный шар из 1-й коробки, \( Ч_2 \) — чёрный шар из 2-й коробки.
События \( Ч_1 \) и \( Ч_2 \) являются противоположными событиям \( Б_1 \) и \( Б_2 \), соответственно.

Находим \( P(Ч_1) \):
1-я коробка: 3 чёрных из 10. \( P(Ч_1) = \frac{3}{10} \). (Противоположно \( P(Б_1) = \frac{7}{10} \)).

Находим \( P(Ч_2) \):
2-я коробка: 9 чёрных из 14. \( P(Ч_2) = \frac{9}{14} \). (Противоположно \( P(Б_2) = \frac{5}{14} \)).

Находим вероятность \( P(Ч_1 Ч_2) \):
\( P(Ч_1 Ч_2) = P(Ч_1) \cdot P(Ч_2) \)
\( P(Ч_1 Ч_2) = \frac{3}{10} \cdot \frac{9}{14} = \frac{27}{140} \).

Ответ: Вероятность того, что оба вынутых шара чёрные, равна \( \frac{27}{140} \).

3) Хотя бы один шар белый.

Ответ

Событие «хотя бы один шар белый» (\( Б_1 \cup Б_2 \)) противоположно событию «оба шара чёрные» (\( Ч_1 Ч_2 \)).
Используем формулу вероятности "хотя бы одного" белого шара: \( P(Б_1 \cup Б_2) = 1 - P(Ч_1 Ч_2) \).

Находим вероятность:
По пункту 2, \( P(Ч_1 Ч_2) = \frac{27}{140} \).
\( P(Б_1 \cup Б_2) = 1 - \frac{27}{140} = \frac{140 - 27}{140} = \frac{113}{140} \).

Ответ: Вероятность того, что хотя бы один шар белый, равна \( \frac{113}{140} \).

4) Хотя бы один шар чёрный.

Ответ

Событие «хотя бы один шар чёрный» (\( Ч_1 \cup Ч_2 \)) противоположно событию «оба шара белые» (\( Б_1 Б_2 \)).
Используем формулу вероятности "хотя бы одного" чёрного шара: \( P(Ч_1 \cup Ч_2) = 1 - P(Б_1 Б_2) \).

Находим вероятность:
По пункту 1, \( P(Б_1 Б_2) = \frac{1}{4} \).
\( P(Ч_1 \cup Ч_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75 \).

Ответ: Вероятность того, что хотя бы один шар чёрный, равна \( \frac{3}{4} \).

Что применять при решении

Определение независимых событий

События \( A \) и \( B \) называют независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей. Это ключевое условие для умножения вероятностей.

\( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \)

Вероятность противоположного события

Вероятность того, что событие \( A \) не наступит (противоположное событие \( \overline{A} \)), равна единице минус вероятность наступления события \( A \).

\( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)

Вероятность "хотя бы одного" события

Вероятность того, что хотя бы одно из \( n \) независимых событий \( A_1, A_2, \dots, A_n \) наступит, рассчитывается через вероятность противоположного события — того, что ни одно из них не наступит. Это событие \( \overline{A_1 A_2 \dots A_n} = \overline{A_1} \overline{A_2} \dots \overline{A_n} \).

\( P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1 - P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot \dots \cdot P(\overline{A_n}) \)

Другие упражнения из параграфа § 69

1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152 1153 1154 1155

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 12
Параграф: § 69 — Независимые события. Умножение вероятностей
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.