ГДЗ: Упражнение 1147 - § 69 (Независимые события. Умножение вероятностей) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Определяем \( P(A) \): Событие \( A \) — на первой кости выпало 6. На первой кости всего 6 возможных исходов, один из них — 6. На второй кости любой из 6 исходов. Число благоприятствующих исходов: \( 1 \cdot 6 = 6 \).
\( P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \).

Определяем \( P(B) \): Событие \( B \) — на второй кости выпало чётное число (\( 2, 4, 6 \)). На первой кости любой из 6 исходов. Число благоприятствующих исходов: \( 6 \cdot 3 = 18 \).
\( P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \).

Определяем \( P(AB) \): Событие \( AB \) — на первой кости 6 и на второй чётное число. Исход: \((6, 2), (6, 4), (6, 6)\).
Число благоприятствующих исходов: \( |AB| = 3 \).
\( P(AB) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \).

Проверяем независимость:
\( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \).
Так как \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \) (\( \frac{1}{12} = \frac{1}{12} \)), события независимы.

Определяем \( P(A) \): Событие \( A \) — на первой кости нечётное число (\( 1, 3, 5 \)). Число благоприятствующих исходов: \( 3 \cdot 6 = 18 \).
\( P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \).

Определяем \( P(B) \): Событие \( B \) — на второй кости число, кратное 3 (\( 3, 6 \)). Число благоприятствующих исходов: \( 6 \cdot 2 = 12 \).
\( P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \).

Определяем \( P(AB) \): Событие \( AB \) — на первой кости нечётное (\( 1, 3, 5 \)) и на второй кратное 3 (\( 3, 6 \)). Пары: \((1, 3), (1, 6), (3, 3), (3, 6), (5, 3), (5, 6)\).
Число благоприятствующих исходов: \( |AB| = 3 \cdot 2 = 6 \).
\( P(AB) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \).

Проверяем независимость:
\( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \).
Так как \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \) (\( \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \)), события независимы.