ГДЗ: Упражнение 1204 - Параграф § 73 (Меры разброса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1204 упражнение:

Найти среднее квадратичное отклонение от среднего значения элементов выборки:

1) 3 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг;

Ответ

Шаг 1: Найдем среднее арифметическое (среднее значение) выборки \( \bar{X} \). Объем выборки \( n = 4 \).

\[ \bar{X} = \frac{3 + 5 + 8 + 4}{4} = \frac{20}{4} = 5 \text{ (кг)} \]

Шаг 2: Вычислим дисперсию \( D \).

Сумма квадратов отклонений: \[ (3-5)^2 + (5-5)^2 + (8-5)^2 + (4-5)^2 = (-2)^2 + 0^2 + 3^2 + (-1)^2 = 4 + 0 + 9 + 1 = 14 \]
Дисперсия: \[ D = \frac{14}{4} = 3.5 \text{ (кг}^2) \]

Шаг 3: Найдем среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) по формуле \( \sigma = \sqrt{D} \).

\[ \sigma = \sqrt{3.5} \approx 1.87 \text{ (кг)} \]

Ответ: Среднее квадратичное отклонение равно \( \sqrt{3.5} \approx 1.87 \text{ кг} \).

2) 12 м, 10 м, 7 м, 12 м, 9 м.

Ответ

Шаг 1: Найдем среднее арифметическое (среднее значение) выборки \( \bar{X} \). Объем выборки \( n = 5 \).

\[ \bar{X} = \frac{12 + 10 + 7 + 12 + 9}{5} = \frac{50}{5} = 10 \text{ (м)} \]

Шаг 2: Вычислим дисперсию \( D \). Удобно использовать частоты: \( 12 \) (2 раза), \( 10 \), \( 7 \), \( 9 \).

Сумма квадратов отклонений: \[ (12-10)^2 \cdot 2 + (10-10)^2 + (7-10)^2 + (9-10)^2 = 2^2 \cdot 2 + 0^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = 8 + 0 + 9 + 1 = 18 \]
Дисперсия: \[ D = \frac{18}{5} = 3.6 \text{ (м}^2) \]

Шаг 3: Найдем среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) по формуле \( \sigma = \sqrt{D} \).

\[ \sigma = \sqrt{3.6} \approx 1.90 \text{ (м)} \]

Ответ: Среднее квадратичное отклонение равно \( \sqrt{3.6} \approx 1.90 \text{ м} \).

Что применять при решении

Размах выборки

Разность наибольшего и наименьшего значений случайной величины выборки. Обозначается \( R \). Размах показывает полный диапазон разброса данных.

\( R = X_{max} - X_{min} \)

Среднее арифметическое (для частотного распределения)

Сумма произведений значений случайной величины \( X_i \) на ее частоты \( M_i \), деленная на сумму всех частот (объем выборки).

\( \bar{X} = \frac{\sum (X_i \cdot M_i)}{\sum M_i} \)

Дисперсия

Среднее арифметическое квадратов отклонений значений случайной величины от ее среднего значения. Обозначается \( D \). Дисперсия является мерой рассеивания значений около среднего.

\( D = \frac{\sum ((X_i - \bar{X})^2 \cdot M_i)}{\sum M_i} \)

Среднее квадратичное отклонение

Квадратный корень из дисперсии. Обозначается \( \sigma \). Имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, что удобно для интерпретации.

\( \sigma = \sqrt{D} \)

Другие упражнения из параграфа § 73

1201 1202 1203 1204 1205 1206 1207 1208 1209

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 13
Параграф: § 73 — Меры разброса
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.