ГДЗ: Упражнение 1209 - Параграф § 73 (Меры разброса) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1209 упражнение:

Двух футболистов, один из которых участвовал в пяти игровых сезонах, а другой — в шести (см. таблицу), сравнить по стабильности в забивании голов. Для сравнения стабильности используем дисперсию: чем меньше дисперсия, тем стабильнее результат.

1) Число голов, забитых 1-м футболистом (5 сезонов): 17, 21, 20, 16, 15; Число голов, забитых 2-м футболистом (6 сезонов): 17, 20, 18, 21, 14, 19.

Ответ

Шаг 1: Вычислим среднее значение и дисперсию для 1-го футболиста (Ф1). В соответствии с текстом задания, берем данные за 5 сезонов (17, 21, 20, 16, 15). \( n_1 = 5 \).

Среднее значение: \( \bar{X}_1 = \frac{17 + 21 + 20 + 16 + 15}{5} = \frac{89}{5} = 17.8 \)
Дисперсия \( D_1 \): \[ D_1 = \frac{(17-17.8)^2 + (21-17.8)^2 + (20-17.8)^2 + (16-17.8)^2 + (15-17.8)^2}{5} \] \[ D_1 = \frac{0.64 + 10.24 + 4.84 + 3.24 + 7.84}{5} = \frac{26.8}{5} = 5.36 \]

Шаг 2: Вычислим среднее значение и дисперсию для 2-го футболиста (Ф2). В соответствии с текстом задания, берем данные за 6 сезонов (17, 20, 18, 21, 14, 19). \( n_2 = 6 \).

Среднее значение: \( \bar{X}_2 = \frac{17 + 20 + 18 + 21 + 14 + 19}{6} = \frac{109}{6} \approx 18.17 \)
Дисперсия \( D_2 \): \[ D_2 = \frac{1}{6} \left[ (17-18.17)^2 + (20-18.17)^2 + (18-18.17)^2 + (21-18.17)^2 + (14-18.17)^2 + (19-18.17)^2 \right] \] \[ D_2 \approx \frac{1}{6} \left[ 1.37 + 3.35 + 0.03 + 8.01 + 17.39 + 0.69 \right] = \frac{30.84}{6} \approx 5.14 \]

Шаг 3: Сравним дисперсии.

\[ D_1 = 5.36 \text{, } D_2 \approx 5.14 \]

Так как \( D_2 < D_1 \), результаты 2-го футболиста имеют меньший разброс относительно среднего.

Ответ: Второй футболист более стабилен, так как его дисперсия \( (D_2 \approx 5.14) \) меньше, чем у первого \( (D_1 = 5.36) \).

Что применять при решении

Размах выборки

Разность наибольшего и наименьшего значений случайной величины выборки. Обозначается \( R \). Размах показывает полный диапазон разброса данных.

\( R = X_{max} - X_{min} \)

Среднее арифметическое (для частотного распределения)

Сумма произведений значений случайной величины \( X_i \) на ее частоты \( M_i \), деленная на сумму всех частот (объем выборки).

\( \bar{X} = \frac{\sum (X_i \cdot M_i)}{\sum M_i} \)

Дисперсия

Среднее арифметическое квадратов отклонений значений случайной величины от ее среднего значения. Обозначается \( D \). Дисперсия является мерой рассеивания значений около среднего.

\( D = \frac{\sum ((X_i - \bar{X})^2 \cdot M_i)}{\sum M_i} \)

Среднее квадратичное отклонение

Квадратный корень из дисперсии. Обозначается \( \sigma \). Имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, что удобно для интерпретации.

\( \sigma = \sqrt{D} \)

Другие упражнения из параграфа § 73

1201 1202 1203 1204 1205 1206 1207 1208 1209

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 13
Параграф: § 73 — Меры разброса
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.