Пояснение: Функция \( y = 3x - 1 \) является линейной, и ее график — прямая линия с положительным угловым коэффициентом \( k = 3 \). Поскольку \( k > 0 \), функция строго возрастает на всей своей области определения \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Вывод: Функция является строго монотонной, а значит, обратимой.
Ответ: Обратима.
2)
\( y = x^2 + 7 \)
Ответ
Пояснение: Функция \( y = x^2 + 7 \) — квадратичная, ее график — парабола, вершина которой находится в точке \( (0; 7) \).
На всей области определения \( D(y) = (-\infty; +\infty) \) функция не является строго монотонной:
При \( x < 0 \) функция строго убывает.
При \( x > 0 \) функция строго возрастает.
Например, разным значениям \( x \) (\( x = -1 \) и \( x = 1 \)) соответствует одно и то же значение \( y \): \( y(-1) = (-1)^2 + 7 = 8 \) \( y(1) = (1)^2 + 7 = 8 \)
Вывод: Функция не является взаимно однозначной на всей области определения, а значит, необратима.
Ответ: Необратима.
3)
\( y = \frac{1}{x} \)
Ответ
Пояснение: Функция \( y = \frac{1}{x} \) — гипербола, ее область определения \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
На каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\) функция строго убывает. Несмотря на разрыв, функция строго монотонна на всей своей области определения (применяется более строгое определение, но в школьном курсе обычно достаточно признака строго монотонности).
Или, проверим, что для любого \( y \ne 0 \) существует единственное \( x \): \( y = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{y} \). Это единственное значение \( x \).
Вывод: Функция является взаимно однозначной, а значит, обратимой.
Ответ: Обратима.
4)
\( y = \sqrt{x} \)
Ответ
Пояснение: Функция \( y = \sqrt{x} \) определена при \( x \ge 0 \). Ее график — ветвь параболы.
На своей области определения \( [0; +\infty) \) функция является строго возрастающей.
Вывод: Функция является строго монотонной, а значит, обратимой.
Ответ: Обратима.
5)
\( y = x^4 \)
Ответ
Пояснение: Функция \( y = x^4 \) определена на \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
На всей области определения функция не является строго монотонной:
При \( x < 0 \) функция строго убывает.
При \( x > 0 \) функция строго возрастает.
Например, разным значениям \( x \) (\( x = -2 \) и \( x = 2 \)) соответствует одно и то же значение \( y \): \( y(-2) = (-2)^4 = 16 \) \( y(2) = (2)^4 = 16 \)
Вывод: Функция не является взаимно однозначной, а значит, необратима.
Ответ: Необратима.
6)
\( y = x^4, \ x < 0 \)
Ответ
Пояснение: Рассматривается функция \( y = x^4 \) на ограниченной области определения \( D(y) = (-\infty; 0) \).
На промежутке \( (-\infty; 0) \) функция \( y = x^4 \) является строго убывающей (при увеличении \( x \) от минус бесконечности до 0, значения \( y \) уменьшаются от \( +\infty \) до \( 0 \)).
Вывод: Функция является строго монотонной на заданной области, а значит, обратимой.
Ответ: Обратима.
Что применять при решении
Обратимая функция
Функция \( y = f(x) \) называется обратимой, если она является взаимно однозначной, т.е. для любого значения \( y \) из множества значений функции существует единственное значение \( x \) из области определения, такое что \( y = f(x) \). Это равносильно тому, что функция является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения.
Обратная функция
Если функция \( y = f(x) \) обратима, то существует обратная функция \( x = g(y) \), которая каждому значению \( y \) из множества значений функции \( f \) ставит в соответствие единственное значение \( x \) из области определения \( f \). Обычно переменную \( x \) и \( y \) меняют местами, получая \( y = g(x) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). При перестановке переменных: \( y = f^{-1}(x) \).
Свойства взаимно обратных функций
Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).
\( D(f) = E(f^{-1}) \), \( E(f) = D(f^{-1}) \)
Нахождение обратной функции
Для нахождения функции, обратной к \( y = f(x) \):
Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
