Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
3. Построение графиков:
График \( y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \) — прямая.
График \( y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \) — прямая.
Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).
3)
\( y = x^2 - 1 \) при \( x \ge 0 \)
Ответ
1. Исходная функция \( f(x) = x^2 - 1, \ x \ge 0 \):
Область определения \( D(f) \): \( [0; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): При \( x = 0, y = -1 \). При \( x \to +\infty, y \to +\infty \). \( E(f) = [-1; +\infty) \).
2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Найдем обратную: \( y = x^2 - 1 \Rightarrow x^2 = y + 1 \). Поскольку \( x \ge 0 \), берем положительный корень: \( x = \sqrt{y + 1} \). После замены переменных: \( y = \sqrt{x + 1} \).
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( [-1; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( [0; +\infty) \).
3. Построение графиков:
График \( y = x^2 - 1, \ x \ge 0 \) — правая ветвь параболы, вершина в \( (0; -1) \).
График \( y = \sqrt{x + 1}, \ x \ge -1 \) — ветвь "лежачей" параболы, начинающаяся в \( (-1; 0) \).
Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).
4)
\( y = (x - 1)^2 \) при \( x \ge 1 \)
Ответ
1. Исходная функция \( f(x) = (x - 1)^2, \ x \ge 1 \):
Область определения \( D(f) \): \( [1; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): При \( x = 1, y = 0 \). При \( x \to +\infty, y \to +\infty \). \( E(f) = [0; +\infty) \).
2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Найдем обратную: \( y = (x - 1)^2 \Rightarrow x - 1 = \pm \sqrt{y} \). Поскольку \( x \ge 1 \), \( x - 1 \ge 0 \), берем положительный корень: \( x - 1 = \sqrt{y} \Rightarrow x = \sqrt{y} + 1 \). После замены переменных: \( y = \sqrt{x} + 1 \).
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( [0; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( [1; +\infty) \).
3. Построение графиков:
График \( y = (x - 1)^2, \ x \ge 1 \) — правая ветвь параболы, вершина в \( (1; 0) \).
График \( y = \sqrt{x} + 1, \ x \ge 0 \) — ветвь "лежачей" параболы, начинающаяся в \( (0; 1) \).
Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).
5)
\( y = x^3 - 2 \)
Ответ
1. Исходная функция \( f(x) = x^3 - 2 \):
Область определения \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Найдем обратную: \( y = x^3 - 2 \Rightarrow x^3 = y + 2 \Rightarrow x = \sqrt[3]{y + 2} \). После замены переменных: \( y = \sqrt[3]{x + 2} \).
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
3. Построение графиков:
График \( y = x^3 - 2 \) — кубическая парабола, сдвинутая на 2 вниз, проходящая через \( (0; -2) \) и \( (\sqrt[3]{2}; 0) \).
График \( y = \sqrt[3]{x + 2} \) — корень третьей степени, сдвинутый на 2 влево, проходящий через \( (-2; 0) \) и \( (0; \sqrt[3]{2}) \).
Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).
6)
\( y = (x - 1)^3 \)
Ответ
1. Исходная функция \( f(x) = (x - 1)^3 \):
Область определения \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Найдем обратную: \( y = (x - 1)^3 \Rightarrow x - 1 = \sqrt[3]{y} \Rightarrow x = \sqrt[3]{y} + 1 \). После замены переменных: \( y = \sqrt[3]{x} + 1 \).
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( (-\infty; +\infty) \).
3. Построение графиков:
График \( y = (x - 1)^3 \) — кубическая парабола, сдвинутая на 1 вправо, проходящая через \( (1; 0) \) и \( (0; -1) \).
График \( y = \sqrt[3]{x} + 1 \) — корень третьей степени, сдвинутый на 1 вверх, проходящий через \( (0; 1) \) и \( (-1; 0) \).
Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).
7)
\( y = \sqrt{x - 1} \)
Ответ
1. Исходная функция \( f(x) = \sqrt{x - 1} \):
Область определения \( D(f) \): Требуется \( x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \). \( D(f) = [1; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Корень всегда неотрицателен: \( E(f) = [0; +\infty) \).
2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Найдем обратную: \( y = \sqrt{x - 1} \). Учитывая \( y \ge 0 \), возведем в квадрат: \( y^2 = x - 1 \Rightarrow x = y^2 + 1 \). После замены переменных: \( y = x^2 + 1 \).
Необходимо указать ограничение \( x \ge 0 \), поскольку \( D(f^{-1}) = E(f) \).
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( [0; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( [1; +\infty) \).
3. Построение графиков:
График \( y = \sqrt{x - 1} \) — ветвь "лежачей" параболы, начинающаяся в \( (1; 0) \).
График \( y = x^2 + 1, \ x \ge 0 \) — правая ветвь параболы, вершина в \( (0; 1) \).
Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).
8)
\( y = \sqrt{x} + 1 \)
Ответ
1. Исходная функция \( f(x) = \sqrt{x} + 1 \):
Область определения \( D(f) \): Требуется \( x \ge 0 \). \( D(f) = [0; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Поскольку \( \sqrt{x} \ge 0 \), то \( y = \sqrt{x} + 1 \ge 1 \). \( E(f) = [1; +\infty) \).
2. Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Найдем обратную: \( y = \sqrt{x} + 1 \Rightarrow \sqrt{x} = y - 1 \). Учитывая, что \( \sqrt{x} \ge 0 \), требуется \( y - 1 \ge 0 \Rightarrow y \ge 1 \). Возведем в квадрат: \( x = (y - 1)^2 \). После замены переменных: \( y = (x - 1)^2 \).
Необходимо указать ограничение \( x \ge 1 \), поскольку \( D(f^{-1}) = E(f) \).
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна \( E(f) \): \( [1; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно \( D(f) \): \( [0; +\infty) \).
3. Построение графиков:
График \( y = \sqrt{x} + 1, \ x \ge 0 \) — ветвь "лежачей" параболы, начинающаяся в \( (0; 1) \).
График \( y = (x - 1)^2, \ x \ge 1 \) — правая ветвь параболы, вершина в \( (1; 0) \).
Графики симметричны относительно прямой \( y = x \).
Что применять при решении
Обратимая функция
Функция \( y = f(x) \) называется обратимой, если она является взаимно однозначной, т.е. для любого значения \( y \) из множества значений функции существует единственное значение \( x \) из области определения, такое что \( y = f(x) \). Это равносильно тому, что функция является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения.
Обратная функция
Если функция \( y = f(x) \) обратима, то существует обратная функция \( x = g(y) \), которая каждому значению \( y \) из множества значений функции \( f \) ставит в соответствие единственное значение \( x \) из области определения \( f \). Обычно переменную \( x \) и \( y \) меняют местами, получая \( y = g(x) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). При перестановке переменных: \( y = f^{-1}(x) \).
Свойства взаимно обратных функций
Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).
\( D(f) = E(f^{-1}) \), \( E(f) = D(f^{-1}) \)
Нахождение обратной функции
Для нахождения функции, обратной к \( y = f(x) \):
Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
