Функция \( y = f(x) \) задана графиком (рис. 21). Построить график функции, обратной к данной.
1)
а)
Ответ
Пояснение: График функции, обратной к \( y = f(x) \), симметричен графику \( y = f(x) \) относительно прямой \( y = x \).
График (а): Исходный график \( y = f(x) \) проходит через точки \( (-1; 5) \) и \( (0; 1) \). График обратной функции пройдет через симметричные точки \( (5; -1) \) и \( (1; 0) \).
Построение: График обратной функции — это плавная кривая, соединяющая точки \( (5; -1) \) и \( (1; 0) \), симметричная исходной относительно \( y = x \).
2)
б)
Ответ
Пояснение: График функции, обратной к \( y = f(x) \), симметричен графику \( y = f(x) \) относительно прямой \( y = x \).
График (б): Исходный график \( y = f(x) \) проходит через точки \( (-2; 0) \) и \( (0; 2) \). График обратной функции пройдет через симметричные точки \( (0; -2) \) и \( (2; 0) \).
Построение: График обратной функции — это плавная кривая, соединяющая точки \( (0; -2) \) и \( (2; 0) \), симметричная исходной относительно \( y = x \).
3)
в)
Ответ
Пояснение: График функции, обратной к \( y = f(x) \), симметричен графику \( y = f(x) \) относительно прямой \( y = x \).
График (в): Исходный график \( y = f(x) \) проходит через точки \( (-2; 4) \) и \( (0; 1) \) и \( (1; 0) \). График обратной функции пройдет через симметричные точки \( (4; -2) \) и \( (1; 0) \) и \( (0; 1) \).
Построение: График обратной функции — это плавная кривая, соединяющая точки \( (4; -2) \), \( (1; 0) \) и \( (0; 1) \), симметричная исходной относительно \( y = x \).
4)
г)
Ответ
Пояснение: График функции, обратной к \( y = f(x) \), симметричен графику \( y = f(x) \) относительно прямой \( y = x \).
График (г): Исходный график \( y = f(x) \) проходит через точки \( (-1; 0) \) и \( (0; 1) \) и \( (1; 4) \). График обратной функции пройдет через симметричные точки \( (0; -1) \) и \( (1; 0) \) и \( (4; 1) \).
Построение: График обратной функции — это плавная кривая, соединяющая точки \( (0; -1) \), \( (1; 0) \) и \( (4; 1) \), симметричная исходной относительно \( y = x \).
Что применять при решении
Обратимая функция
Функция \( y = f(x) \) называется обратимой, если она является взаимно однозначной, т.е. для любого значения \( y \) из множества значений функции существует единственное значение \( x \) из области определения, такое что \( y = f(x) \). Это равносильно тому, что функция является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения.
Обратная функция
Если функция \( y = f(x) \) обратима, то существует обратная функция \( x = g(y) \), которая каждому значению \( y \) из множества значений функции \( f \) ставит в соответствие единственное значение \( x \) из области определения \( f \). Обычно переменную \( x \) и \( y \) меняют местами, получая \( y = g(x) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). При перестановке переменных: \( y = f^{-1}(x) \).
Свойства взаимно обратных функций
Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).
\( D(f) = E(f^{-1}) \), \( E(f) = D(f^{-1}) \)
Нахождение обратной функции
Для нахождения функции, обратной к \( y = f(x) \):
Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
