Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:
1)
\( y = -2x + 1 \)
Ответ
Исходная функция \( f(x) = -2x + 1 \):
Область определения \( D(f) \): Линейная функция определена при всех \( x \): \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Линейная функция (если коэффициент не равен 0) принимает все значения: \( E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \). \( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \). \( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \).
2)
\( y = \frac{1}{4}x - 7 \)
Ответ
Исходная функция \( f(x) = \frac{1}{4}x - 7 \):
Область определения \( D(f) \): Линейная функция определена при всех \( x \): \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Линейная функция (если коэффициент не равен 0) принимает все значения: \( E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \). \( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \). \( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \).
3)
\( y = x^3 - 1 \)
Ответ
Исходная функция \( f(x) = x^3 - 1 \):
Область определения \( D(f) \): Кубический многочлен определен при всех \( x \): \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Кубическая функция принимает все значения: \( E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \). \( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \). \( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \).
4)
\( y = (x - 1)^3 \)
Ответ
Исходная функция \( f(x) = (x - 1)^3 \):
Область определения \( D(f) \): Кубическая функция определена при всех \( x \): \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Кубическая функция принимает все значения: \( E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \). \( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \). \( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; +\infty) \).
5)
\( y = \frac{2}{x} \)
Ответ
Исходная функция \( f(x) = \frac{2}{x} \):
Область определения \( D(f) \): Знаменатель не равен нулю: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Функция \( y = \frac{2}{x} \) принимает все значения, кроме 0: \( E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \). \( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \). \( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
6)
\( y = \frac{3}{x - 4} \)
Ответ
Исходная функция \( f(x) = \frac{3}{x - 4} \):
Область определения \( D(f) \): Знаменатель не равен нулю, \( x - 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4 \): \( D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \).
Множество значений \( E(f) \): Дробь равна 0 только если числитель равен 0, что невозможно (числитель 3), поэтому \( y \ne 0 \): \( E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Обратная функция \( f^{-1}(x) \):
Область определения \( D(f^{-1}) \): Равна множеству значений \( E(f) \). \( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).
Множество значений \( E(f^{-1}) \): Равно области определения \( D(f) \). \( E(f^{-1}) = D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \).
Ответ: Область определения обратной функции: \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). Множество значений обратной функции: \( (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \).
Что применять при решении
Обратимая функция
Функция \( y = f(x) \) называется обратимой, если она является взаимно однозначной, т.е. для любого значения \( y \) из множества значений функции существует единственное значение \( x \) из области определения, такое что \( y = f(x) \). Это равносильно тому, что функция является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения.
Обратная функция
Если функция \( y = f(x) \) обратима, то существует обратная функция \( x = g(y) \), которая каждому значению \( y \) из множества значений функции \( f \) ставит в соответствие единственное значение \( x \) из области определения \( f \). Обычно переменную \( x \) и \( y \) меняют местами, получая \( y = g(x) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). При перестановке переменных: \( y = f^{-1}(x) \).
Свойства взаимно обратных функций
Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).
\( D(f) = E(f^{-1}) \), \( E(f) = D(f^{-1}) \)
Нахождение обратной функции
Для нахождения функции, обратной к \( y = f(x) \):
Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
