Извлечем квадратный корень: \( x = \pm \sqrt{-y} \).
Так как по условию \( x \le 0 \), выбираем отрицательный корень: \( x = -\sqrt{-y} \). (Заметим, что \( -y \ge 0 \) верно, т.к. \( y \le 0 \)).
Шаг 3. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:
Получаем обратную функцию: \( y = -\sqrt{-x} \).
Шаг 4. Определим область определения обратной функции \( D(f^{-1}) \):
\( D(f^{-1}) = E(f) = (-\infty; 0] \).
Ответ: \( y = -\sqrt{-x} \), где \( x \le 0 \).
2)
\( y = -x^5 \)
Ответ
Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):
Начнем с исходного уравнения: \( y = -x^5 \).
Умножим на \(-1\): \( -y = x^5 \).
Возьмем корень пятой степени: \( x = \sqrt[5]{-y} \).
Поскольку \( \sqrt[5]{-y} = -\sqrt[5]{y} \), получаем \( x = -\sqrt[5]{y} \).
Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:
Получаем обратную функцию: \( y = -\sqrt[5]{x} \).
Ответ: \( y = -\sqrt[5]{x} \)
3)
\( y = x^{\frac{2}{3}} \)
Ответ
Шаг 1. Определим область определения \( D(f) \) и множество значений \( E(f) \):
Функция \( y = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} \) определена при всех \( x \): \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
Функция не является обратимой на \( D(f) \), поскольку \( f(-1) = f(1) = 1 \).
Для нахождения обратной функции, область определения должна быть ограничена, например, \( x \ge 0 \). Предположим, что \( x \ge 0 \). Тогда \( D(f) = [0; +\infty) \) и \( E(f) = [0; +\infty) \).
Шаг 2. Выразим \( x \) через \( y \) (при условии \( x \ge 0 \)):
Начнем с исходного уравнения: \( y = x^{\frac{2}{3}} \).
Возведем обе части в степень \( \frac{3}{2} \): \( y^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \).
Получаем \( x = y^{\frac{3}{2}} \).
Шаг 3. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:
Получаем обратную функцию: \( y = x^{\frac{3}{2}} \).
Ответ: \( y = x^{\frac{3}{2}} \), где \( x \ge 0 \).
4)
\( y = -x^{\frac{1}{3}} \)
Ответ
Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):
Начнем с исходного уравнения: \( y = -x^{\frac{1}{3}} = -\sqrt[3]{x} \).
Умножим на \(-1\): \( -y = x^{\frac{1}{3}} \).
Возведем обе части в куб: \( (-y)^3 = (x^{\frac{1}{3}})^3 \).
Получаем \( x = (-y)^3 \) или \( x = -y^3 \).
Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:
Получаем обратную функцию: \( y = -x^3 \).
Ответ: \( y = -x^3 \)
Что применять при решении
Обратимая функция
Функция \( y = f(x) \) называется обратимой, если она является взаимно однозначной, т.е. для любого значения \( y \) из множества значений функции существует единственное значение \( x \) из области определения, такое что \( y = f(x) \). Это равносильно тому, что функция является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения.
Обратная функция
Если функция \( y = f(x) \) обратима, то существует обратная функция \( x = g(y) \), которая каждому значению \( y \) из множества значений функции \( f \) ставит в соответствие единственное значение \( x \) из области определения \( f \). Обычно переменную \( x \) и \( y \) меняют местами, получая \( y = g(x) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). При перестановке переменных: \( y = f^{-1}(x) \).
Свойства взаимно обратных функций
Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).
\( D(f) = E(f^{-1}) \), \( E(f) = D(f^{-1}) \)
Нахождение обратной функции
Для нахождения функции, обратной к \( y = f(x) \):
Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
