Проверим, являются ли \( y = \sqrt[3]{x^4} \) и \( y = x^{\frac{3}{4}} \) взаимно обратными.
Перепишем функции в виде степеней:
Первая функция: \( y = \sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}} \). Область определения \( D_1 = (-\infty; +\infty) \).
Вторая функция: \( y = x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3} \). Область определения \( D_2 = [0; +\infty) \).
Шаг 1. Проверим обратимость:
Первая функция \( y = x^{\frac{4}{3}} \) не является взаимно однозначной на \( D_1 \). Например, \( f(-1) = (-1)^{\frac{4}{3}} = 1 \) и \( f(1) = 1^{\frac{4}{3}} = 1 \).
Вторая функция \( y = x^{\frac{3}{4}} \) строго возрастает на \( D_2 \).
Шаг 2. Найдем обратную функцию для \( y = x^{\frac{3}{4}} \) (она обратима):
- Выразим \( x \) через \( y \):
\( y = x^{\frac{3}{4}} \Rightarrow y^4 = (x^{\frac{3}{4}})^4 \Rightarrow y^4 = x^3 \Rightarrow x = y^{\frac{4}{3}} \). - Поменяем переменные: \( y = x^{\frac{4}{3}} \).
Вывод: Обратная функция \( y = x^{\frac{4}{3}} \) совпадает с первой функцией \( y = \sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}} \). Однако, чтобы они были взаимно обратными, необходимо ограничить область определения первой функции до \( [0; +\infty) \), так как область определения второй функции \( [0; +\infty) \) является множеством значений первой (а без ограничения \( x^{\frac{4}{3}} \) не обратима).
В контексте стандартного школьного курса, где функции рассматриваются на максимальной области определения без явных ограничений, первая функция необратима. Если же подразумевается ограничение \( x \ge 0 \) для первой функции, то они взаимно обратны.
Примем стандартное соглашение о максимальной области определения, где \( y = \sqrt[3]{x^4} \) необратима.
Ответ: Не являются (если не ограничить область определения \( y = \sqrt[3]{x^4} \) до \( x \ge 0 \)).
