Разделим обе части на 2: \( x = \frac{y + 1}{2} \) или \( x = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2} \).
Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:
Получаем обратную функцию: \( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \).
Ответ: \( y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \)
2)
\( y = -5x + 4 \)
Ответ
Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):
Начнем с исходного уравнения: \( y = -5x + 4 \).
Вычтем 4 из обеих частей: \( y - 4 = -5x \).
Разделим обе части на \(-5\): \( x = \frac{y - 4}{-5} \) или \( x = -\frac{1}{5}y + \frac{4}{5} \).
Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:
Получаем обратную функцию: \( y = -\frac{1}{5}x + \frac{4}{5} \).
Ответ: \( y = -\frac{1}{5}x + \frac{4}{5} \)
3)
\( y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \)
Ответ
Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):
Начнем с исходного уравнения: \( y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \).
Прибавим \( \frac{2}{3} \) к обеим частям: \( y + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x \).
Умножим обе части на 3: \( x = 3 \left( y + \frac{2}{3} \right) \) или \( x = 3y + 2 \).
Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:
Получаем обратную функцию: \( y = 3x + 2 \).
Ответ: \( y = 3x + 2 \)
4)
\( y = \frac{3x - 1}{2} \)
Ответ
Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):
Начнем с исходного уравнения: \( y = \frac{3x - 1}{2} \).
Умножим обе части на 2: \( 2y = 3x - 1 \).
Прибавим 1 к обеим частям: \( 2y + 1 = 3x \).
Разделим обе части на 3: \( x = \frac{2y + 1}{3} \) или \( x = \frac{2}{3}y + \frac{1}{3} \).
Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:
Получаем обратную функцию: \( y = \frac{2x + 1}{3} \).
Ответ: \( y = \frac{2x + 1}{3} \)
5)
\( y = x^3 + 1 \)
Ответ
Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):
Начнем с исходного уравнения: \( y = x^3 + 1 \).
Вычтем 1 из обеих частей: \( y - 1 = x^3 \).
Возьмем кубический корень из обеих частей: \( x = \sqrt[3]{y - 1} \).
Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:
Получаем обратную функцию: \( y = \sqrt[3]{x - 1} \).
Ответ: \( y = \sqrt[3]{x - 1} \)
6)
\( y = x^3 - 3 \)
Ответ
Шаг 1. Выразим \( x \) через \( y \):
Начнем с исходного уравнения: \( y = x^3 - 3 \).
Прибавим 3 к обеим частям: \( y + 3 = x^3 \).
Возьмем кубический корень из обеих частей: \( x = \sqrt[3]{y + 3} \).
Шаг 2. Поменяем переменные \( x \) и \( y \) местами:
Получаем обратную функцию: \( y = \sqrt[3]{x + 3} \).
Ответ: \( y = \sqrt[3]{x + 3} \)
Что применять при решении
Обратимая функция
Функция \( y = f(x) \) называется обратимой, если она является взаимно однозначной, т.е. для любого значения \( y \) из множества значений функции существует единственное значение \( x \) из области определения, такое что \( y = f(x) \). Это равносильно тому, что функция является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения.
Обратная функция
Если функция \( y = f(x) \) обратима, то существует обратная функция \( x = g(y) \), которая каждому значению \( y \) из множества значений функции \( f \) ставит в соответствие единственное значение \( x \) из области определения \( f \). Обычно переменную \( x \) и \( y \) меняют местами, получая \( y = g(x) \).
Если \( y = f(x) \), то \( x = f^{-1}(y) \). При перестановке переменных: \( y = f^{-1}(x) \).
Свойства взаимно обратных функций
Область определения функции \( f \) является множеством значений для обратной функции \( f^{-1} \).
Множество значений функции \( f \) является областью определения для обратной функции \( f^{-1} \).
Графики взаимно обратных функций \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) симметричны относительно прямой \( y = x \).
\( D(f) = E(f^{-1}) \), \( E(f) = D(f^{-1}) \)
Нахождение обратной функции
Для нахождения функции, обратной к \( y = f(x) \):
Убедиться, что функция обратима (например, проверить строгую монотонность).
Выразить \( x \) через \( y \) из уравнения \( y = f(x) \), получив \( x = g(y) \).
Поменять местами переменные \( x \) и \( y \), получив искомую обратную функцию \( y = g(x) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
