ГДЗ: Упражнение 194 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Определение основания. Основание показательной функции \( y = a^x \) равно \( a = 0.4 \).
Шаг 2: Анализ. Поскольку \( 0 < 0.4 < 1 \), функция \( y = 0.4^x \) является убывающей на всей области определения.
Шаг 3: Построение. График проходит через точку \( (0; 1) \). При \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \). При \( x \to +\infty \), \( y \to 0 \) (ось \( Ox \) — горизонтальная асимптота).
2)
\( y = (\sqrt{2})^x \)
Ответ
Шаг 1: Определение основания. Основание равно \( a = \sqrt{2} \).
Шаг 2: Анализ. Поскольку \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), то \( a > 1 \). Функция \( y = (\sqrt{2})^x \) является возрастающей на всей области определения.
Шаг 3: Построение. График проходит через точку \( (0; 1) \). При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \). При \( x \to -\infty \), \( y \to 0 \) (ось \( Ox \) — горизонтальная асимптота).
3)
\( y = (\frac{1}{\sqrt{2}})^x \)
Ответ
Шаг 1: Определение основания. Основание равно \( a = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Шаг 2: Анализ. Поскольку \( \frac{1}{\sqrt{2}} \approx \frac{1}{1.414} \approx 0.707 \), то \( 0 < a < 1 \). Функция \( y = (\frac{1}{\sqrt{2}})^x \) является убывающей на всей области определения.
Шаг 3: Построение. График проходит через точку \( (0; 1) \). При \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \). При \( x \to +\infty \), \( y \to 0 \) (ось \( Ox \) — горизонтальная асимптота).
4)
\( y = (\sqrt{3})^x \)
Ответ
Шаг 1: Определение основания. Основание равно \( a = \sqrt{3} \).
Шаг 2: Анализ. Поскольку \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), то \( a > 1 \). Функция \( y = (\sqrt{3})^x \) является возрастающей на всей области определения.
Шаг 3: Построение. График проходит через точку \( (0; 1) \). При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \). При \( x \to -\infty \), \( y \to 0 \) (ось \( Ox \) — горизонтальная асимптота).
Что применять при решении
Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
