ГДЗ: Упражнение 198 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Приведение к общему основанию. Представим правую часть уравнения \( 1 \) как степень с основанием \( 5 \):
\( 5^x = 5^0 \).
Шаг 2: Приравнивание показателей. Так как основания равны и \( 5 \neq 1 \), то показатели степени должны быть равны:
\( x = 0 \).
Ответ: \( x = 0 \).
2)
\( 7^x = 49 \)
Ответ
Шаг 1: Приведение к общему основанию. Представим правую часть уравнения \( 49 \) как степень с основанием \( 7 \):
\( 7^x = 7^2 \).
Шаг 2: Приравнивание показателей. Так как основания равны и \( 7 \neq 1 \), то показатели степени должны быть равны:
\( x = 2 \).
Ответ: \( x = 2 \).
3)
\( (\frac{1}{3})^x = \sqrt{3} \)
Ответ
Шаг 1: Приведение к общему основанию. Приведем обе части к основанию \( 3 \):
\( (3^{-1})^x = 3^{\frac{1}{2}} \).
\( 3^{-x} = 3^{\frac{1}{2}} \).
Шаг 2: Приравнивание показателей.
\( -x = \frac{1}{2} \).
\( x = -\frac{1}{2} \).
Ответ: \( x = -\frac{1}{2} \).
4)
\( (\frac{1}{7})^x = \sqrt{7} \)
Ответ
Шаг 1: Приведение к общему основанию. Приведем обе части к основанию \( 7 \):
\( (7^{-1})^x = 7^{\frac{1}{2}} \).
\( 7^{-x} = 7^{\frac{1}{2}} \).
Шаг 2: Приравнивание показателей.
\( -x = \frac{1}{2} \).
\( x = -\frac{1}{2} \).
Ответ: \( x = -\frac{1}{2} \).
Что применять при решении
Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
