ГДЗ: Упражнение 197 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Найти координаты точки пересечения графиков функций:
1)
\( y = 2^x \text{ и } y = 8 \)
Ответ
Шаг 1: Составление уравнения. Координаты точки пересечения графиков функций \( y = 2^x \) и \( y = 8 \) находятся из условия равенства их значений:
\( 2^x = 8 \).
Шаг 2: Решение показательного уравнения. Представим число 8 как степень с основанием 2:
\( 2^x = 2^3 \).
Так как основания равны и \( 2 \neq 1 \), то показатели степени также должны быть равны: \( x = 3 \).
Шаг 3: Нахождение координаты \( y \). Подставим найденное значение \( x = 3 \) в любую из функций (например, \( y = 8 \)):
\( y = 8 \).
Ответ: Точка пересечения имеет координаты \( (3; 8) \).
2)
\( y = 3^x \text{ и } y = \frac{1}{3} \)
Ответ
Шаг 1: Составление уравнения. Координаты точки пересечения графиков функций \( y = 3^x \) и \( y = \frac{1}{3} \) находятся из условия равенства их значений:
\( 3^x = \frac{1}{3} \).
Шаг 2: Решение показательного уравнения. Представим число \( \frac{1}{3} \) как степень с основанием 3:
\( 3^x = 3^{-1} \).
Так как основания равны и \( 3 \neq 1 \), то показатели степени также должны быть равны: \( x = -1 \).
Шаг 3: Нахождение координаты \( y \). Подставим найденное значение \( x = -1 \) в любую из функций (например, \( y = \frac{1}{3} \)):
\( y = \frac{1}{3} \).
Ответ: Точка пересечения имеет координаты \( (-1; \frac{1}{3}) \).
3)
\( y = (\frac{1}{4})^x \text{ и } y = 16 \)
Ответ
Шаг 1: Составление уравнения. Координаты точки пересечения графиков функций \( y = (\frac{1}{4})^x \) и \( y = 16 \) находятся из условия равенства их значений:
\( (\frac{1}{4})^x = 16 \).
Шаг 2: Решение показательного уравнения. Представим обе части уравнения в виде степени с основанием \( 4 \) или \( \frac{1}{4} \). Используем основание \( \frac{1}{4} = 4^{-1} \):
Шаг 3: Нахождение координаты \( y \). Подставим найденное значение \( x = -2 \) в любую из функций (например, \( y = 16 \)):
\( y = 16 \).
Ответ: Точка пересечения имеет координаты \( (-2; 16) \).
4)
\( y = (\frac{1}{3})^x \text{ и } y = 9 \)
Ответ
Шаг 1: Составление уравнения. Координаты точки пересечения графиков функций \( y = (\frac{1}{3})^x \) и \( y = 9 \) находятся из условия равенства их значений:
\( (\frac{1}{3})^x = 9 \).
Шаг 2: Решение показательного уравнения. Представим обе части уравнения в виде степени с основанием \( 3 \) или \( \frac{1}{3} \). Используем основание \( 3 \):
Шаг 3: Нахождение координаты \( y \). Подставим найденное значение \( x = -2 \) в любую из функций (например, \( y = 9 \)):
\( y = 9 \).
Ответ: Точка пересечения имеет координаты \( (-2; 9) \).
Что применять при решении
Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
