ГДЗ: Упражнение 195 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 3: Сравнение. Так как функция убывает, то меньшему показателю соответствует большее значение функции:
\( -3 < -2 \implies 0.2^{-3} > 0.2^{-2} \).
Ответ: \( 0.2^{-3} > 0.2^{-2} \).
5)
\( (\frac{1}{5})^{\sqrt{2}} \text{ и } (\frac{1}{5})^{1.4} \)
Ответ
Шаг 1: Анализ основания. Основание степени равно \( a = \frac{1}{5} \). Поскольку \( 0 < \frac{1}{5} < 1 \), показательная функция \( y = (\frac{1}{5})^x \) является убывающей.
Шаг 2: Сравнение показателей. Сравним показатели: \( \sqrt{2} \approx 1.414 \). Таким образом, \( \sqrt{2} > 1.4 \).
Шаг 3: Сравнение. Так как функция убывает, то большему показателю соответствует меньшее значение функции:
Шаг 1: Анализ основания. Основание степени равно \( a = 3 \). Поскольку \( 3 > 1 \), показательная функция \( y = 3^x \) является возрастающей.
Шаг 2: Сравнение показателей. Сравним показатели: \( \pi \approx 3.14159 \). Таким образом, \( \pi > 3.14 \).
Шаг 3: Сравнение. Так как функция возрастает, то большему показателю соответствует большее значение функции:
\( \pi > 3.14 \implies 3^{\pi} > 3^{3.14} \).
Ответ: \( 3^{\pi} > 3^{3.14} \).
Что применять при решении
Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
