ГДЗ: Упражнение 201 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Преобразование. График функции \( y = 3^x - 2 \) получается из графика основной показательной функции \( y = 3^x \) путем сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси \( Oy \).
График \( y = 3^x \) проходит через \( (0; 1) \) и имеет горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).
Шаг 2: Построение.
Новая горизонтальная асимптота: \( y = -2 \).
Новая точка пересечения с \( Oy \): \( (0; 3^0 - 2) = (0; 1 - 2) = (0; -1) \).
Точка пересечения с \( Ox \) (при \( y = 0 \)): \( 3^x - 2 = 0 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2 \approx 0.63 \).
Шаг 1: Преобразование. График функции \( y = (\frac{1}{2})^x + 3 \) получается из графика основной показательной функции \( y = (\frac{1}{2})^x \) путем сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси \( Oy \).
График \( y = (\frac{1}{2})^x \) проходит через \( (0; 1) \) и имеет горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).
Шаг 2: Построение.
Новая горизонтальная асимптота: \( y = 3 \).
Новая точка пересечения с \( Oy \): \( (0; (\frac{1}{2})^0 + 3) = (0; 1 + 3) = (0; 4) \).
Нет точки пересечения с \( Ox \), так как \( y = (\frac{1}{2})^x + 3 > 3 > 0 \).
Шаг 1: Преобразование. График функции \( y = 2^{x + 1} \) получается из графика основной показательной функции \( y = 2^x \) путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси \( Ox \).
График \( y = 2^x \) проходит через \( (0; 1) \) и имеет горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).
Шаг 2: Построение.
Горизонтальная асимптота остается \( y = 0 \).
Новая точка пересечения с \( Oy \): \( (0; 2^{0 + 1}) = (0; 2) \).
Новая точка на графике: \( x = -1 \implies y = 2^{-1 + 1} = 2^0 = 1 \). Точка \( (-1; 1) \).
Шаг 1: Преобразование. График функции \( y = 3^{x - 2} \) получается из графика основной показательной функции \( y = 3^x \) путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси \( Ox \).
График \( y = 3^x \) проходит через \( (0; 1) \) и имеет горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).
Шаг 2: Построение.
Горизонтальная асимптота остается \( y = 0 \).
Новая точка пересечения с \( Oy \): \( (0; 3^{0 - 2}) = (0; 3^{-2}) = (0; \frac{1}{9}) \).
Новая точка на графике: \( x = 2 \implies y = 3^{2 - 2} = 3^0 = 1 \). Точка \( (2; 1) \).
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
