ГДЗ: Упражнение 205 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Анализ функции. Функция \( y = 2^{|x|} \) является чётной, так как \( y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x) \). График симметричен относительно оси \( Oy \).
Шаг 2: Построение для \( x \ge 0 \). При \( x \ge 0 \), \( |x| = x \), и функция принимает вид \( y = 2^x \). Строим график \( y = 2^x \) для \( x \in [0; +\infty) \). На этом интервале функция возрастает, проходит через \( (0; 1) \), \( (1; 2) \), \( (2; 4) \).
Шаг 3: Построение для \( x < 0 \). При \( x < 0 \), \( |x| = -x \), и функция принимает вид \( y = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x \). Строим график \( y = (\frac{1}{2})^x \) для \( x \in (-\infty; 0) \). На этом интервале функция убывает, проходит через \( (-1; 2) \), \( (-2; 4) \).
Шаг 4: Общий график. Объединяем части. График имеет форму, похожую на букву 'U', с вершиной в точке \( (0; 1) \).
Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Область значений: \( E(y) = [1; +\infty) \).
2)
\( y = (\frac{1}{3})^{|x|} \)
Ответ
Шаг 1: Анализ функции. Функция \( y = (\frac{1}{3})^{|x|} \) также является чётной, так как \( y(-x) = (\frac{1}{3})^{|-x|} = (\frac{1}{3})^{|x|} = y(x) \). График симметричен относительно оси \( Oy \).
Шаг 2: Построение для \( x \ge 0 \). При \( x \ge 0 \), \( |x| = x \), и функция принимает вид \( y = (\frac{1}{3})^x \). Строим график \( y = (\frac{1}{3})^x \) для \( x \in [0; +\infty) \). На этом интервале функция убывает, проходит через \( (0; 1) \), \( (1; \frac{1}{3}) \), \( (2; \frac{1}{9}) \). Асимптота \( y = 0 \) при \( x \to +\infty \).
Шаг 3: Построение для \( x < 0 \). При \( x < 0 \), \( |x| = -x \), и функция принимает вид \( y = (\frac{1}{3})^{-x} = 3^x \). Строим график \( y = 3^x \) для \( x \in (-\infty; 0) \). На этом интервале функция возрастает, проходит через \( (-1; 3) \), \( (-2; 9) \). Асимптота \( y = 0 \) при \( x \to -\infty \).
Шаг 4: Общий график. Объединяем части. График имеет форму, похожую на букву 'A', с вершиной в точке \( (0; 1) \).
Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
Область значений: \( E(y) = (0; 1] \).
3)
\( y = |3^x - 2| \)
Ответ
Шаг 1: Построение вспомогательного графика. Сначала строим график функции \( y_1 = 3^x - 2 \) (см. Упр. 201, вар. 1). Точка пересечения с \( Ox \): \( x = \log_3 2 \approx 0.63 \). Точка пересечения с \( Oy \): \( (0; -1) \). Асимптота \( y = -2 \).
Шаг 2: Применение модуля. График функции \( y = |3^x - 2| \) получается из графика \( y_1 = 3^x - 2 \) следующим образом:
Часть графика, лежащая выше оси \( Ox \) (где \( 3^x - 2 \ge 0 \)), остается без изменений. Это происходит при \( x \ge \log_3 2 \).
Часть графика, лежащая ниже оси \( Ox \) (где \( 3^x - 2 < 0 \)), отражается симметрично относительно оси \( Ox \). Это происходит при \( x < \log_3 2 \).
Шаг 3: Свойства.
Новая асимптота: \( y = |-2| = 2 \) при \( x \to -\infty \).
Точки излома на оси \( Ox \): \( (\log_3 2; 0) \).
Область значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).
4)
\( y = 2 - 3^x \)
Ответ
Шаг 1: Преобразование. Функцию \( y = 2 - 3^x \) можно представить как \( y = -3^x + 2 \). График получается из графика \( y_1 = 3^x \) с помощью двух преобразований:
Отражение относительно оси \( Ox \) (получаем \( y = -3^x \)).
Сдвиг на 2 единицы вверх вдоль оси \( Oy \) (получаем \( y = -3^x + 2 \)).
Шаг 2: Построение.
Горизонтальная асимптота \( y = 0 \) после отражения остается \( y = 0 \), после сдвига становится \( y = 2 \).
Точка пересечения с \( Oy \): \( (0; 2 - 3^0) = (0; 2 - 1) = (0; 1) \).
Точка пересечения с \( Ox \) (при \( y = 0 \)): \( 2 - 3^x = 0 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2 \approx 0.63 \). Точка \( (\log_3 2; 0) \).
Шаг 3: Свойства. Функция \( y = 3^x \) возрастает. Отражение относительно оси \( Ox \) меняет монотонность, поэтому \( y = 2 - 3^x \) убывает.
Что применять при решении
Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
