ГДЗ: Упражнение 306 - § 17 (Десятичные и натуральные логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Преобразование показателя: Используем свойство \(\lg 25 = \lg 5^2 = 2 \lg 5\).

• \( 5^{\lg 25} = 5^{2 \lg 5} \)

Шаг 2. Применение основного логарифмического тождества (неявно): Выразим число 5 через основание 10: \(5 = 10^{\lg 5}\).

• \( 5^{2 \lg 5} = (10^{\lg 5})^{2 \lg 5} = 10^{2 (\lg 5)^2} \). Это не самый простой путь.

Шаг 3. Другой подход (переход к одному основанию): Преобразуем 25: \(25 = 5^2\).

• \( 5^{\lg 25} = 5^{\lg (5^2)} = 5^{2 \lg 5} \)

Шаг 4. Окончательное упрощение: Выразить \(5^{\lg 5}\) через \(\log_{10}\) сложно. Попробуем преобразовать выражение \(5^{\lg 25}\) через другое основание. Пусть \(A = 5^{\lg 25}\). Тогда \(\lg A = \lg (5^{\lg 25}) = \lg 25 \cdot \lg 5 = 2 \lg 5 \cdot \lg 5 = 2 (\lg 5)^2\).

• \( A = 10^{2 (\lg 5)^2} \)

Вычисление: \( \lg 5 \approx 0,699 \). \( A = 10^{2 \cdot (0,699)^2} \approx 10^{2 \cdot 0,4886} \approx 10^{0,9772} \approx 9,487 \)

Ответ: \( 10^{2 (\lg 5)^2} \approx 9,49 \)

Шаг 1. Анализ выражения: Сначала вычислим выражение под внешним логарифмом:

• \( \log_4 4 = 1 \) (по определению логарифма)
• Выражение равно: \( \log_1 (1 \cdot \log_2 3) = \log_1 (\log_2 3) \)

Шаг 2. Анализ основания внешнего логарифма: Внешний логарифм имеет основание \(a=1\). По определению логарифма, основание должно быть \(a>0\) и \(a \neq 1\).

Вывод: Логарифм с основанием 1 \(\log_1 x\) не определен.

Ответ: Логарифм не определен, так как основание логарифма не может быть равно 1. (Если допустить, что в условии опечатка, и основание логарифма в варианте 2) должно быть, например, \(\log_2\) или \(\lg\), решение было бы другим, но в строгом соответствии с заданием \(\log_1 x\) не существует).