ГДЗ: Упражнение 312 - § 17 (Десятичные и натуральные логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Упрощение знаменателя: По определению логарифма: \( \log_3 3 = 1 \).

• Выражение: \( \frac{\log_3 216 - \log_3 24}{1} = \log_3 216 - \log_3 24 \)

Шаг 2. Упрощение числителя: Используем свойство логарифма частного: \(\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)\).

• \( \log_3 216 - \log_3 24 = \log_3 \left( \frac{216}{24} \right) \)

Шаг 3. Вычисление:

• \( \frac{216}{24} = 9 \)
• \( \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \)

Ответ: \( 2 \)

Шаг 1. Упрощение числителя: Используем свойство логарифма частного:

• Числитель: \( \log_2 192 - \log_2 24 = \log_2 \left( \frac{192}{24} \right) = \log_2 8 \)
• \( \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 \)

Шаг 2. Упрощение знаменателя: Используем свойство \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\):

• Знаменатель: \( \log_{12} 2 - \log_{96} 2 = \frac{1}{\log_2 12} - \frac{1}{\log_2 96} \)

Шаг 3. Преобразование знаменателя к общему знаменателю:

• Знаменатель: \( \frac{\log_2 96 - \log_2 12}{\log_2 12 \cdot \log_2 96} \)

Шаг 4. Упрощение числителя знаменателя:

• \( \log_2 96 - \log_2 12 = \log_2 \left( \frac{96}{12} \right) = \log_2 8 = 3 \)

Шаг 5. Окончательное выражение:

• \( \frac{3}{\frac{3}{\log_2 12 \cdot \log_2 96}} = 3 \cdot \frac{\log_2 12 \cdot \log_2 96}{3} = \log_2 12 \cdot \log_2 96 \)

Ответ: \( \log_2 12 \cdot \log_2 96 \) (Если не было ошибки в условии, это максимально упрощенный ответ. Если бы в знаменателе было \(\log_2 12 - \log_2 96\), ответ был бы \(3 / \log_2(1/8) = 3 / (-3) = -1\)).