ГДЗ: Упражнение 315 - § 17 (Десятичные и натуральные логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Составление формулы: Пусть \(P_0\) — начальное число жителей, \(r=8\% = 0,08\) — ежегодный прирост, \(t\) — число лет, \(P(t)\) — число жителей через \(t\) лет. Рост по формуле сложных процентов:

• \( P(t) = P_0 (1 + r)^t \)
• \( P(t) = P_0 (1,08)^t \)

Шаг 2. Условие удвоения: Удвоение означает, что \( P(t) = 2 P_0 \).

• \( 2 P_0 = P_0 (1,08)^t \)
• \( 2 = (1,08)^t \)

Шаг 3. Решение логарифмированием: Применим десятичный логарифм к обеим частям:

• \( \lg 2 = \lg (1,08)^t \)
• \( \lg 2 = t \cdot \lg 1,08 \)

Шаг 4. Нахождение \(t\):

• \( t = \frac{\lg 2}{\lg 1,08} \)

Шаг 5. Вычисление: Используем приближенные значения логарифмов (хотя по условию \(314\) не использовать калькулятор, для этой задачи он необходим): \(\lg 2 \approx 0,301\), \(\lg 1,08 \approx 0,0334\).

• \( t \approx \frac{0,301}{0,0334} \approx 9,01 \) лет

Ответ: Число жителей удвоится примерно через 9,01 года (или через 9 лет).