ГДЗ: Упражнение 317 - Параграф § 17 (Десятичные и натуральные логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

317 упражнение:

Вычислить на микрокалькуляторе приближенное значение \(e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n}\) при:

1) \( n=7 \)

Ответ

Пояснение: Формула представляет собой частичную сумму ряда Тейлора для \(e^x\) при \(x=1\): \( e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots \). Заданная сумма: \( S_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{n!} \).

Вычисление для \(n=7\):

\( S_7 = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} \)
\( S_7 = 2 + 0,5 + 0,166667 + 0,041667 + 0,008333 + 0,001389 + 0,000198 \)
\( S_7 \approx 2,718254 \)

Ответ: \( 2,718254 \)

2) \( n=8 \)

Ответ

Пояснение: \( S_8 = S_7 + \frac{1}{8!} \).

\( 8! = 40320 \)
\( \frac{1}{8!} \approx 0,0000248 \)
\( S_8 \approx 2,718254 + 0,0000248 = 2,718279 \)

Ответ: \( 2,718279 \)

3) \( n=9 \)

Ответ

Пояснение: \( S_9 = S_8 + \frac{1}{9!} \).

\( 9! = 362880 \)
\( \frac{1}{9!} \approx 0,00000276 \)
\( S_9 \approx 2,718279 + 0,00000276 = 2,718282 \)

Ответ: \( 2,718282 \)

4) \( n=10 \)

Ответ

Пояснение: \( S_{10} = S_9 + \frac{1}{10!} \).

\( 10! = 3628800 \)
\( \frac{1}{10!} \approx 0,000000276 \)
\( S_{10} \approx 2,718282 + 0,000000276 = 2,718282 \)

Ответ: \( 2,718282 \)

Что применять при решении

Определение десятичного логарифма

Логарифм числа \(b\) по основанию 10 называется десятичным логарифмом этого числа и обозначается \(\lg b\). Используется для вычислений на калькуляторе.

\( \log_{10} b = \lg b \)

Определение натурального логарифма

Логарифм числа \(b\) по основанию \(e\) (где \(e \approx 2.718\) - число Эйлера) называется натуральным логарифмом этого числа и обозначается \(\ln b\). Также используется для вычислений на калькуляторе.

\( \log_{e} b = \ln b \)

Формула перехода к новому основанию

Позволяет выразить логарифм \(\log_a b\) через логарифмы по другому, удобному основанию \(c\) (например, \(c=10\) или \(c=e\)).

\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)

Основное логарифмическое тождество

Возведение основания \(a\) в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), дает число \(b\).

\( a^{\log_a b} = b \)

Свойство логарифма степени

Показатель степени под знаком логарифма можно вынести как множитель перед логарифмом.

\( \log_a x^p = p \log_a x \)

Свойство логарифма частного

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

\( \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \)

Другие упражнения из параграфа § 17

301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 4
Параграф: § 17 — Десятичные и натуральные логарифмы
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.