ГДЗ: Упражнение 316 - § 17 (Десятичные и натуральные логарифмы) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется \(1,2\%\) имеющегося в нем воздуха. Через сколько качаний насоса в сосуде останется \(\frac{1}{10^{16}}\) часть первоначальной массы воздуха?
1)
Ответ
Шаг 1. Составление формулы: Пусть \(M_0\) — начальная масса воздуха, \(p=1,2\% = 0,012\) — удаляемая часть, \(n\) — число качаний, \(M_n\) — масса воздуха после \(n\) качаний. После каждого качания остается \(1 - p = 1 - 0,012 = 0,988\) часть.
\( M_n = M_0 (1 - p)^n \)
\( M_n = M_0 (0,988)^n \)
Шаг 2. Условие: В сосуде останется \(\frac{1}{10^{16}}\) часть от \(M_0\).
\( M_0 \cdot \frac{1}{10^{16}} = M_0 (0,988)^n \)
\( 10^{-16} = (0,988)^n \)
Шаг 3. Решение логарифмированием: Применим десятичный логарифм к обеим частям:
\( n \approx \frac{-16}{-0,00523} \approx 3059,27 \)
Ответ: Потребуется примерно 3060 качаний.
Что применять при решении
Определение десятичного логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию 10 называется десятичным логарифмом этого числа и обозначается \(\lg b\). Используется для вычислений на калькуляторе.
\( \log_{10} b = \lg b \)
Определение натурального логарифма
Логарифм числа \(b\) по основанию \(e\) (где \(e \approx 2.718\) - число Эйлера) называется натуральным логарифмом этого числа и обозначается \(\ln b\). Также используется для вычислений на калькуляторе.
\( \log_{e} b = \ln b \)
Формула перехода к новому основанию
Позволяет выразить логарифм \(\log_a b\) через логарифмы по другому, удобному основанию \(c\) (например, \(c=10\) или \(c=e\)).
\( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Основное логарифмическое тождество
Возведение основания \(a\) в степень, равную логарифму числа \(b\) по основанию \(a\), дает число \(b\).
\( a^{\log_a b} = b \)
Свойство логарифма степени
Показатель степени под знаком логарифма можно вынести как множитель перед логарифмом.
\( \log_a x^p = p \log_a x \)
Свойство логарифма частного
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
\( \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
