ГДЗ: Упражнение 607 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
По определению, \( \text{arctg } 0 \) — это угол \( x \) из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), для которого \( \text{tg } x = 0 \).
Тангенс равен нулю при \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Единственный такой угол, попадающий в интервал \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), это \( x = 0 \) (при \( n = 0 \)).
Тогда \( \text{arctg } (-1) = -\text{arctg } 1 \).
По определению, \( \text{arctg } 1 \) — это угол \( x \) из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), для которого \( \text{tg } x = 1 \).
Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 \), и \( \frac{\pi}{4} \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \). Следовательно, \( \text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4} \).
Таким образом, \( \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \).
По определению, \( \text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} \) — это угол \( x \) из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), для которого \( \text{tg } x = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), и \( \frac{\pi}{6} \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \). Следовательно, \( \text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6} \).
Таким образом, \( \text{arctg } \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = -\frac{\pi}{6} \).
Ответ: \( -\frac{\pi}{6} \)
4)
\( \text{arctg } \sqrt{3} \)
Ответ
Решение:
По определению, \( \text{arctg } \sqrt{3} \) — это угол \( x \) из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), для которого \( \text{tg } x = \sqrt{3} \).
Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), и \( \frac{\pi}{3} \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \). Следовательно, \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \).
Ответ: \( \frac{\pi}{3} \)
Что применять при решении
Формула для решения уравнения тангенса
Уравнение вида \( \text{tg } x = a \) имеет решения для любого действительного числа \( a \). Общая формула для нахождения корней: \( x = \text{arctg } a + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.
\( x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Определение арктангенса
Арктангенс числа \( a \) (\( \text{arctg } a \)) — это угол из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), тангенс которого равен \( a \).
\( \text{tg } (\text{arctg } a) = a \), \( -\frac{\pi}{2} < \text{arctg } a < \frac{\pi}{2} \)
Свойство нечетности арктангенса
Функция арктангенс является нечетной, что позволяет находить значения арктангенса отрицательных чисел через арктангенсы положительных чисел.
\( \text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a \)
Связь арктангенса и арккотангенса
Для любого действительного числа \( a \) справедливо соотношение между арктангенсом и арккотангенсом.
\( \text{arctg } a + \text{arcctg } a = \frac{\pi}{2} \)
Связь арктангенса и арккосинуса (Упражнение 618)
Для любого действительного числа \( a \) справедливо равенство для косинуса арктангенса.
\( \cos (\text{arctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
