ГДЗ: Упражнение 612 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разделим на два случая:

• Случай 1: \( \text{tg } x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( \text{tg } x = 1 \).

• Решение этого уравнения: \( x = \text{arctg } 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Случай 2: \( \text{tg } x + \sqrt{3} = 0 \) \( \Rightarrow \) \( \text{tg } x = -\sqrt{3} \).

• Решение этого уравнения: \( x = \text{arctg } (-\sqrt{3}) + \pi k = -\text{arctg } \sqrt{3} + \pi k = -\frac{\pi}{3} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разделим на два случая:

• Случай 1: \( \sqrt{3} \text{tg } x + 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( \sqrt{3} \text{tg } x = -1 \) \( \Rightarrow \) \( \text{tg } x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

• Решение этого уравнения: \( x = \text{arctg } \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) + \pi n = -\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Случай 2: \( \text{tg } x - \sqrt{3} = 0 \) \( \Rightarrow \) \( \text{tg } x = \sqrt{3} \).

• Решение этого уравнения: \( x = \text{arctg } \sqrt{3} + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x_1 = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разделим на два случая:

• Случай 1: \( \text{tg } (x - 2) = 0 \).

• Решение уравнения \( \text{tg } y = 0 \) имеет вид \( y = \pi n \). Заменяем \( y = x - 2 \): \( x - 2 = \pi n \).

• Тогда \( x = 2 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Случай 2: \( 2 \cos x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2 \cos x = 1 \) \( \Rightarrow \) \( \cos x = \frac{1}{2} \).

• Решение этого уравнения: \( x = \pm \text{arccos } \frac{1}{2} + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x_1 = 2 + \pi n, \quad x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разделим на два случая:

• Случай 1: \( \text{tg } (x - 4,5) = 0 \).

• Решение уравнения \( \text{tg } y = 0 \) имеет вид \( y = \pi n \). Заменяем \( y = x - 4,5 \): \( x - 4,5 = \pi n \).

• Тогда \( x = 4,5 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Случай 2: \( 1 + 2 \sin x = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2 \sin x = -1 \) \( \Rightarrow \) \( \sin x = -\frac{1}{2} \).

• Решение этого уравнения имеет вид \( x = (-1)^k \text{arcsin } \left( -\frac{1}{2} \right) + \pi k \).

• Так как \( \text{arcsin } \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6} \), то \( x = (-1)^k \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \pi k \) или в виде двух серий:

• \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \pi - \left( -\frac{\pi}{6} \right) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x_1 = 4,5 + \pi n, \quad x_2 = (-1)^k \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разделим на два случая:

• Случай 1: \( \text{tg } x + 4 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( \text{tg } x = -4 \).

• Решение этого уравнения: \( x = \text{arctg } (-4) + \pi n = -\text{arctg } 4 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Случай 2: \( \text{tg } \frac{x}{2} - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( \text{tg } \frac{x}{2} = 1 \).

• Решение уравнения \( \text{tg } y = 1 \) имеет вид \( y = \text{arctg } 1 + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k \).

• Заменяем \( y = \frac{x}{2} \): \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \).

• Умножим обе части на 2: \( x = 2 \left( \frac{\pi}{4} + \pi k \right) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x_1 = -\text{arctg } 4 + \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)

Решение:

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разделим на два случая:

• Случай 1: \( \text{tg } \frac{x}{6} + 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( \text{tg } \frac{x}{6} = -1 \).

• Решение уравнения \( \text{tg } y = -1 \) имеет вид \( y = \text{arctg } (-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n \).

• Заменяем \( y = \frac{x}{6} \): \( \frac{x}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n \).

• Умножим обе части на 6: \( x = 6 \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Случай 2: \( \text{tg } x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( \text{tg } x = 1 \).

• Решение этого уравнения: \( x = \text{arctg } 1 + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x_1 = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)