ГДЗ: Упражнение 613 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Решим тригонометрическое уравнение.

• Преобразуем уравнение к виду \( \text{tg } 3x = \sqrt{3} \).

• Используем общую формулу для корней \( \text{tg } y = a \): \( y = \text{arctg } a + \pi n \).

• Подставляем: \( 3x = \text{arctg } \sqrt{3} + \pi n \).

• Так как \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \), то \( 3x = \frac{\pi}{3} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Разделим на 3: \( x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi (1 + 3n)}{9} \).

• Шаг 2: Найдем наименьший положительный корень. Для этого нужно найти наименьшее целое \( n \), при котором \( x > 0 \).

• Из условия \( x > 0 \): \( \frac{\pi (1 + 3n)}{9} > 0 \) \( \Rightarrow \) \( 1 + 3n > 0 \) \( \Rightarrow \) \( 3n > -1 \) \( \Rightarrow \) \( n > -\frac{1}{3} \).

• Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это \( n = 0 \).

• При \( n = 0 \): \( x_{\min \text{ положит.}} = \frac{\pi (1 + 3 \cdot 0)}{9} = \frac{\pi}{9} \).

• Шаг 3: Найдем наибольший отрицательный корень. Для этого нужно найти наибольшее целое \( n \), при котором \( x < 0 \).

• Из условия \( x < 0 \): \( \frac{\pi (1 + 3n)}{9} < 0 \) \( \Rightarrow \) \( 1 + 3n < 0 \) \( \Rightarrow \) \( 3n < -1 \) \( \Rightarrow \) \( n < -\frac{1}{3} \).

• Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это \( n = -1 \).

• При \( n = -1 \): \( x_{\max \text{ отриц.}} = \frac{\pi (1 + 3 \cdot (-1))}{9} = \frac{\pi (1 - 3)}{9} = -\frac{2\pi}{9} \).

Ответ: Наименьший положительный корень: \( \frac{\pi}{9} \). Наибольший отрицательный корень: \( -\frac{2\pi}{9} \)