ГДЗ: Упражнение 615 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Доказать, что \( \text{tg } (\text{arctg } a) = a \) при любом \( a \in \mathbb{R} \). Вычислить:
1)
\( \text{tg } (\text{arctg } 2,1) \)
Ответ
Решение:
Согласно определению арктангенса и формуле, которую требовалось доказать (\( \text{tg } (\text{arctg } a) = a \) при любом \( a \in \mathbb{R} \)), значение выражения равно аргументу арктангенса.
Здесь \( a = 2,1 \), который является действительным числом.
Используем тождество \( \text{tg } (\text{arctg } a) = a \).
Тогда \( -\text{tg } (\text{arctg } 6) = -6 \).
Ответ: \( -6 \)
Что применять при решении
Формула для решения уравнения тангенса
Уравнение вида \( \text{tg } x = a \) имеет решения для любого действительного числа \( a \). Общая формула для нахождения корней: \( x = \text{arctg } a + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.
\( x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Определение арктангенса
Арктангенс числа \( a \) (\( \text{arctg } a \)) — это угол из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), тангенс которого равен \( a \).
\( \text{tg } (\text{arctg } a) = a \), \( -\frac{\pi}{2} < \text{arctg } a < \frac{\pi}{2} \)
Свойство нечетности арктангенса
Функция арктангенс является нечетной, что позволяет находить значения арктангенса отрицательных чисел через арктангенсы положительных чисел.
\( \text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a \)
Связь арктангенса и арккотангенса
Для любого действительного числа \( a \) справедливо соотношение между арктангенсом и арккотангенсом.
\( \text{arctg } a + \text{arcctg } a = \frac{\pi}{2} \)
Связь арктангенса и арккосинуса (Упражнение 618)
Для любого действительного числа \( a \) справедливо равенство для косинуса арктангенса.
\( \cos (\text{arctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
