На Горох
Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 614 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Глава 6 Страницы: 179, 183, 184
А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

614 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( \text{arctg } (5x - 1) = \frac{\pi}{4} \)
Ответ

Решение:

  • Так как \( \text{arctg } y = \alpha \), то по определению \( \text{tg } \alpha = y \).

  • Подставим значения: \( 5x - 1 = \text{tg } \frac{\pi}{4} \).

  • Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 \).

  • Получаем линейное уравнение: \( 5x - 1 = 1 \).

  • Решим относительно \( x \): \( 5x = 2 \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{2}{5} \) или \( x = 0,4 \).

Ответ: \( x = 0,4 \)

2) \( \text{arctg } (3 - 5x) = -\frac{\pi}{3} \)
Ответ

Решение:

  • Так как \( \text{arctg } y = \alpha \), то по определению \( \text{tg } \alpha = y \).

  • Подставим значения: \( 3 - 5x = \text{tg } \left( -\frac{\pi}{3} \right) \).

  • Так как тангенс — нечетная функция, \( \text{tg } \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\text{tg } \frac{\pi}{3} \).

  • Известно, что \( \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), следовательно, \( \text{tg } \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3} \).

  • Получаем линейное уравнение: \( 3 - 5x = -\sqrt{3} \).

  • Решим относительно \( x \): \( 5x = 3 + \sqrt{3} \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{3 + \sqrt{3}}{5} \).

Ответ: \( x = \frac{3 + \sqrt{3}}{5} \)

Что применять при решении

Формула для решения уравнения тангенса

Уравнение вида \( \text{tg } x = a \) имеет решения для любого действительного числа \( a \). Общая формула для нахождения корней: \( x = \text{arctg } a + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.
\( x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Определение арктангенса

Арктангенс числа \( a \) (\( \text{arctg } a \)) — это угол из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), тангенс которого равен \( a \).
\( \text{tg } (\text{arctg } a) = a \), \( -\frac{\pi}{2} < \text{arctg } a < \frac{\pi}{2} \)

Свойство нечетности арктангенса

Функция арктангенс является нечетной, что позволяет находить значения арктангенса отрицательных чисел через арктангенсы положительных чисел.
\( \text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a \)

Связь арктангенса и арккотангенса

Для любого действительного числа \( a \) справедливо соотношение между арктангенсом и арккотангенсом.
\( \text{arctg } a + \text{arcctg } a = \frac{\pi}{2} \)

Связь арктангенса и арккосинуса (Упражнение 618)

Для любого действительного числа \( a \) справедливо равенство для косинуса арктангенса.
\( \cos (\text{arctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} \)

Не сходится своя задача? Разберём по шагам

  • Формула, подстановка и расчёт
  • Числа считает калькулятор, а не нейросеть
  • Бесплатно и без регистрации
Решить задачу Разбор задачи бесплатный

Другие упражнения из параграфа § 35

607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619

Данные параграфа

К параграфу →
Глава
Глава 6
Параграф
§ 35 — Уравнение tg x = a
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025

Задали работу по этой теме?

Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.