ГДЗ: Упражнение 618 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Доказательство:

• Шаг 1: Обозначим \( y = \text{arctg } a \). По определению арктангенса, \( y \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \) и \( \text{tg } y = a \).

• Шаг 2: Выразим \( \cos y \) через \( \text{tg } y \). Используем основное тригонометрическое тождество, разделенное на \( \cos^2 y \) (так как \( \cos y \neq 0 \) для \( y \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \)):

• \( \frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} + \frac{\cos^2 y}{\cos^2 y} = \frac{1}{\cos^2 y} \) \( \Rightarrow \) \( \text{tg}^2 y + 1 = \frac{1}{\cos^2 y} \).

• Отсюда \( \cos^2 y = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 y} \).

• Шаг 3: Подставим \( \text{tg } y = a \) в полученное равенство:

• \( \cos^2 y = \frac{1}{1 + a^2} \).

• Шаг 4: Извлечем квадратный корень. Поскольку \( y = \text{arctg } a \) лежит в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), косинус угла \( y \) всегда положительный, то есть \( \cos y > 0 \).

• Следовательно, \( \cos y = \sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} \).

• Шаг 5: Заменим \( y \) обратно на \( \text{arctg } a \): \( \cos (\text{arctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} \).

• Равенство доказано.

Ответ: Доказано, что \( \cos (\text{arctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} \) при любом \( a \in \mathbb{R} \).