ГДЗ: Упражнение 616 - § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Проверим, лежит ли аргумент \( \alpha = \frac{\pi}{7} \) в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \). Так как \( \frac{\pi}{7} \approx 0,45\pi \) и \( 0 < 0,45\pi < 0,5\pi \), условие выполняется.

• Используем тождество \( \text{arctg } (\text{tg } \alpha) = \alpha \) при \( -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} \).

• \( \text{arctg } \left( \text{tg } \frac{\pi}{7} \right) = \frac{\pi}{7} \).

• Следовательно, \( 3 \text{arctg } \left( \text{tg } \frac{\pi}{7} \right) = 3 \cdot \frac{\pi}{7} = \frac{3\pi}{7} \).

Ответ: \( \frac{3\pi}{7} \)

Решение:

• Проверим, лежит ли аргумент \( \alpha = 0,5 \) в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).

• Так как \( \frac{\pi}{2} \approx 1,57 \), и \( 0 < 0,5 < 1,57 \), условие \( -\frac{\pi}{2} < 0,5 < \frac{\pi}{2} \) выполняется.

• Используем тождество \( \text{arctg } (\text{tg } \alpha) = \alpha \).

• \( \text{arctg } (\text{tg } 0,5) = 0,5 \).

• Следовательно, \( 4 \text{arctg } (\text{tg } 0,5) = 4 \cdot 0,5 = 2 \).

Ответ: \( 2 \)

Решение:

• Аргумент \( \alpha = \frac{7\pi}{8} \) не лежит в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), так как \( \frac{7\pi}{8} > \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2} \).

• Используем периодичность и формулы приведения для тангенса: \( \text{tg } \alpha = \text{tg } (\alpha - \pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Найдем угол \( \beta = \frac{7\pi}{8} - \pi = \frac{7\pi - 8\pi}{8} = -\frac{\pi}{8} \).

• Угол \( -\frac{\pi}{8} \) лежит в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).

• Так как \( \text{tg } \frac{7\pi}{8} = \text{tg } \left( \pi - \frac{\pi}{8} \right) = -\text{tg } \frac{\pi}{8} = \text{tg } \left( -\frac{\pi}{8} \right) \), то \( \text{arctg } \left( \text{tg } \frac{7\pi}{8} \right) = \text{arctg } \left( \text{tg } \left( -\frac{\pi}{8} \right) \right) \).

• По тождеству: \( \text{arctg } \left( \text{tg } \left( -\frac{\pi}{8} \right) \right) = -\frac{\pi}{8} \).

• Следовательно, \( 3 \text{arctg } \left( \text{tg } \frac{7\pi}{8} \right) = 3 \cdot \left( -\frac{\pi}{8} \right) = -\frac{3\pi}{8} \).

Ответ: \( -\frac{3\pi}{8} \)

Решение:

• Аргумент \( \alpha = 13 \) (радианы) не лежит в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \) (так как \( \frac{\pi}{2} \approx 1,57 \)).

• Найдем целое число \( n \), такое, что \( \beta = 13 - \pi n \) лежит в интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).

• Используем приближение \( \pi \approx 3,14 \).

• \( 13 \) разделим на \( \pi \): \( \frac{13}{\pi} \approx \frac{13}{3,14} \approx 4,14 \).

• Наиболее подходящее целое число \( n \) — это 4.

• Рассмотрим \( \beta = 13 - 4\pi \).

• \( 4\pi \approx 12,56 \). Тогда \( 13 - 4\pi \approx 13 - 12,56 = 0,44 \).

• Так как \( -1,57 < 13 - 4\pi < 1,57 \), то \( 13 - 4\pi \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \).

• \( \text{arctg } (\text{tg } 13) = \text{arctg } (\text{tg } (13 - 4\pi)) = 13 - 4\pi \).

Ответ: \( 13 - 4\pi \)