ГДЗ: Упражнение 617 - Параграф § 35 (Уравнение tg x = a) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

617 упражнение:

Вычислить:

1) \( \text{arctg } \left( \text{ctg } \frac{5\pi}{6} \right) \)

Ответ

Решение:

Шаг 1: Вычислим \( \text{ctg } \frac{5\pi}{6} \).
Используем формулу приведения: \( \text{ctg } \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) = -\text{ctg } \frac{\pi}{6} \).
Так как \( \text{ctg } \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \), то \( \text{ctg } \frac{5\pi}{6} = -\sqrt{3} \).
Шаг 2: Подставим значение в арктангенс: \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) \).
Используем свойство нечетности: \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\text{arctg } \sqrt{3} \).
Так как \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \), то \( \text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{3} \)

2) \( 2 \text{arctg } \left( \text{ctg } \frac{3\pi}{4} \right) \)

Ответ

Решение:

Шаг 1: Вычислим \( \text{ctg } \frac{3\pi}{4} \).
Используем формулу приведения: \( \text{ctg } \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) = -\text{ctg } \frac{\pi}{4} \).
Так как \( \text{ctg } \frac{\pi}{4} = 1 \), то \( \text{ctg } \frac{3\pi}{4} = -1 \).
Шаг 2: Подставим значение в арктангенс: \( \text{arctg } (-1) \).
Используем свойство нечетности: \( \text{arctg } (-1) = -\text{arctg } 1 \).
Так как \( \text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4} \), то \( \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \).
Шаг 3: Умножим на 2: \( 2 \text{arctg } \left( \text{ctg } \frac{3\pi}{4} \right) = 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\pi}{2} \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{2} \)

3) \( \text{arctg } \left( 2 \sin \frac{5\pi}{6} \right) \)

Ответ

Решение:

Шаг 1: Вычислим \( \sin \frac{5\pi}{6} \).
Используем формулу приведения: \( \sin \frac{5\pi}{6} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{6} \).
Так как \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
Шаг 2: Вычислим аргумент арктангенса: \( 2 \sin \frac{5\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).
Шаг 3: Подставим значение в арктангенс: \( \text{arctg } 1 \).
Так как \( \text{tg } \frac{\pi}{4} = 1 \), то \( \text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{4} \)

4) \( 4 \text{arctg } \left( 2 \sin \frac{\pi}{3} \right) \)

Ответ

Решение:

Шаг 1: Вычислим \( \sin \frac{\pi}{3} \).
Известно, что \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Шаг 2: Вычислим аргумент арктангенса: \( 2 \sin \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).
Шаг 3: Подставим значение в арктангенс: \( \text{arctg } \sqrt{3} \).
Так как \( \text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), то \( \text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \).
Шаг 4: Умножим на 4: \( 4 \text{arctg } \left( 2 \sin \frac{\pi}{3} \right) = 4 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \).

Ответ: \( \frac{4\pi}{3} \)

Что применять при решении

Формула для решения уравнения тангенса

Уравнение вида \( \text{tg } x = a \) имеет решения для любого действительного числа \( a \). Общая формула для нахождения корней: \( x = \text{arctg } a + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

\( x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Определение арктангенса

Арктангенс числа \( a \) (\( \text{arctg } a \)) — это угол из интервала \( \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) \), тангенс которого равен \( a \).

\( \text{tg } (\text{arctg } a) = a \), \( -\frac{\pi}{2} < \text{arctg } a < \frac{\pi}{2} \)

Свойство нечетности арктангенса

Функция арктангенс является нечетной, что позволяет находить значения арктангенса отрицательных чисел через арктангенсы положительных чисел.

\( \text{arctg } (-a) = -\text{arctg } a \)

Связь арктангенса и арккотангенса

Для любого действительного числа \( a \) справедливо соотношение между арктангенсом и арккотангенсом.

\( \text{arctg } a + \text{arcctg } a = \frac{\pi}{2} \)

Связь арктангенса и арккосинуса (Упражнение 618)

Для любого действительного числа \( a \) справедливо равенство для косинуса арктангенса.

\( \cos (\text{arctg } a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} \)

Другие упражнения из параграфа § 35

607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 6
Параграф: § 35 — Уравнение tg x = a
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.