Из коробки с красными и жёлтыми шарами одновременно вынимают два шара. С какой вероятностью они будут одного цвета, если в коробке: а) два красных и один жёлтый шар; б) два красных и два жёлтых шара; в) два красных и три жёлтых шара?
а)
Два красных и один жёлтый шар.
Ответ
Пронумеруем шары: \( К_1, К_2, Ж \). Пары: \( К_1К_2, К_1Ж, К_2Ж \) — 3 равновозможных исхода, одного цвета только \( К_1К_2 \). \( P = \dfrac13 \).
Ответ: \( \dfrac13 \).
б)
Два красных и два жёлтых шара.
Ответ
Шары \( К_1, К_2, Ж_1, Ж_2 \). Пар \( \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6 \): \( К_1К_2, К_1Ж_1, К_1Ж_2, К_2Ж_1, К_2Ж_2, Ж_1Ж_2 \). Одного цвета — \( К_1К_2 \) и \( Ж_1Ж_2 \). \( P = \dfrac26 = \dfrac13 \).
Ответ: \( \dfrac13 \).
в)
Два красных и три жёлтых шара.
Ответ
Шаров 5, пар \( \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10 \). Одного цвета: красная пара одна (\( К_1К_2 \)), жёлтых пар \( \dfrac{3 \cdot 2}{2} = 3 \) (\( Ж_1Ж_2, Ж_1Ж_3, Ж_2Ж_3 \)) — всего 4. \( P = \dfrac{4}{10} = \dfrac25 \).
Ответ: \( \dfrac25 \).
Что применять при решении
Классическое определение вероятности
Если случайный эксперимент может завершиться одним из \( n \) равновозможных исходов, из которых \( m \) благоприятны для события \( A \), то вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Вероятность каждого элементарного события равна \( \dfrac{1}{n} \). Окончательную формулировку определения связывают с именем П. Лапласа. В отличие от статистического определения, здесь вероятность находится без проведения опытов.
\( P(A) = \dfrac{m}{n} \)
Когда применимо классическое определение
Опыт должен иметь конечное число равновозможных исходов. Равновозможность обычно обеспечивается симметрией (монета, кубик, шары одинакового размера, честный жребий). Если исходы не равновозможны (кнопка, пуговица, крышка), приходится возвращаться к статистическому определению — оценивать вероятность по частоте. Если исходов бесконечно много (случайная точка на глобусе), используют геометрическое определение вероятности.
Правильный выбор равновозможных исходов
Главная ошибка (ошибка Даламбера) — принять за равновозможные исходы события, которые на самом деле не элементарны и имеют разную вероятность («монеты выпали на разные стороны» — это два исхода ОР и РО). Чтобы её избежать, при подсчёте исходов нужно различать сами предметы (пронумеровать шары, монеты, кубики), а не их цвета и другие свойства. Порядок извлечения можно учитывать или не учитывать — оба способа дают одинаковый ответ, если применять их последовательно и к общему числу исходов, и к благоприятным.
Таблица исходов для двух кубиков
Исходы опыта с двумя кубиками удобно записывать в таблицу \( 6 \times 6 \): строка — очки на первом кубике, столбец — на втором, всего 36 равновозможных клеток. Чтобы найти вероятность любого события, достаточно выделить благоприятные клетки, посчитать их и разделить на 36. Например, «на красном кубике больше очков, чем на зелёном» — 15 клеток, вероятность \( \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
