Задача Эйлера. Три человека пришли в ресторан и сдали свои шляпы в гардероб. Уходя из ресторана, они разобрали свои шляпы наугад. С какой вероятностью: а) каждый уйдёт в своей шляпе; б) каждый уйдёт в чужой шляпе; в) один уйдёт в своей шляпе, а двое — в чужих; г) двое уйдут в своих шляпах, а один — в чужой?
Найдите вероятности а)–г).
Ответ
Люди 1, 2, 3, их шляпы \( a, b, c \). Равновозможных исходов 6 (упражнение 109); в скобках — сколько человек получили свою шляпу:
Исход
(a, b, c)
(a, c, b)
(b, a, c)
(b, c, a)
(c, a, b)
(c, b, a)
Своих шляп
3
1
1
0
0
1
а) Все в своих — 1 исход: \( P = \dfrac16 \).
б) Все в чужих — исходы \( (b, c, a) \) и \( (c, a, b) \): \( P = \dfrac26 = \dfrac13 \).
в) Ровно один в своей — 3 исхода: \( P = \dfrac36 = \dfrac12 \).
г) Если двое взяли свои шляпы, третьему остаётся только его собственная — такой исход невозможен: \( P = 0 \).
Если случайный эксперимент может завершиться одним из \( n \) равновозможных исходов, из которых \( m \) благоприятны для события \( A \), то вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Вероятность каждого элементарного события равна \( \dfrac{1}{n} \). Окончательную формулировку определения связывают с именем П. Лапласа. В отличие от статистического определения, здесь вероятность находится без проведения опытов.
\( P(A) = \dfrac{m}{n} \)
Когда применимо классическое определение
Опыт должен иметь конечное число равновозможных исходов. Равновозможность обычно обеспечивается симметрией (монета, кубик, шары одинакового размера, честный жребий). Если исходы не равновозможны (кнопка, пуговица, крышка), приходится возвращаться к статистическому определению — оценивать вероятность по частоте. Если исходов бесконечно много (случайная точка на глобусе), используют геометрическое определение вероятности.
Правильный выбор равновозможных исходов
Главная ошибка (ошибка Даламбера) — принять за равновозможные исходы события, которые на самом деле не элементарны и имеют разную вероятность («монеты выпали на разные стороны» — это два исхода ОР и РО). Чтобы её избежать, при подсчёте исходов нужно различать сами предметы (пронумеровать шары, монеты, кубики), а не их цвета и другие свойства. Порядок извлечения можно учитывать или не учитывать — оба способа дают одинаковый ответ, если применять их последовательно и к общему числу исходов, и к благоприятным.
Таблица исходов для двух кубиков
Исходы опыта с двумя кубиками удобно записывать в таблицу \( 6 \times 6 \): строка — очки на первом кубике, столбец — на втором, всего 36 равновозможных клеток. Чтобы найти вероятность любого события, достаточно выделить благоприятные клетки, посчитать их и разделить на 36. Например, «на красном кубике больше очков, чем на зелёном» — 15 клеток, вероятность \( \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
