Бабушка дала внучке, не умеющей читать, три кубика. Какова вероятность того, что у внучки случайным образом получится из них слово русского языка, если на кубиках написаны буквы: а) Д, М, Ы; б) К, О, Т; в) Г, Д, О; г) Б, Б, О?
а)
Д, М, Ы.
Ответ
Внучка ставит кубики в ряд в случайном порядке. Порядков \( 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \): ДМЫ, ДЫМ, МДЫ, МЫД, ЫДМ, ЫМД. Слово только одно — ДЫМ. \( P = \dfrac16 \).
Ответ: \( \dfrac16 \).
б)
К, О, Т.
Ответ
Шесть расположений: КОТ, КТО, ОКТ, ОТК, ТКО, ТОК. Слова русского языка: КОТ, ТОК, КТО — три из шести, \( P = \dfrac36 = \dfrac12 \). В ответах учебника указано \( \dfrac23 \), то есть учтено четыре слова — по-видимому, вместе с сокращением «ОКТ» или подобным; если считать только общеупотребительные слова, получается \( \dfrac12 \).
Расположения: ГДО, ГОД, ДГО, ДОГ, ОГД, ОДГ. Слова: ГОД и ДОГ (порода собак). \( P = \dfrac26 = \dfrac13 \).
Ответ: \( \dfrac13 \).
г)
Б, Б, О.
Ответ
Кубики нужно различать: \( Б_1, Б_2, О \). Расположений 6: \( Б_1Б_2О, Б_2Б_1О, Б_1ОБ_2, Б_2ОБ_1, ОБ_1Б_2, ОБ_2Б_1 \). Слово БОБ получается в двух случаях (\( Б_1ОБ_2 \) и \( Б_2ОБ_1 \)). \( P = \dfrac26 = \dfrac13 \). (Если не различать одинаковые кубики, получится три расположения ББО, БОБ, ОББ, но они не равновозможны — БОБ вдвое вероятнее каждого из остальных.)
Ответ: \( \dfrac13 \).
Что применять при решении
Классическое определение вероятности
Если случайный эксперимент может завершиться одним из \( n \) равновозможных исходов, из которых \( m \) благоприятны для события \( A \), то вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Вероятность каждого элементарного события равна \( \dfrac{1}{n} \). Окончательную формулировку определения связывают с именем П. Лапласа. В отличие от статистического определения, здесь вероятность находится без проведения опытов.
\( P(A) = \dfrac{m}{n} \)
Когда применимо классическое определение
Опыт должен иметь конечное число равновозможных исходов. Равновозможность обычно обеспечивается симметрией (монета, кубик, шары одинакового размера, честный жребий). Если исходы не равновозможны (кнопка, пуговица, крышка), приходится возвращаться к статистическому определению — оценивать вероятность по частоте. Если исходов бесконечно много (случайная точка на глобусе), используют геометрическое определение вероятности.
Правильный выбор равновозможных исходов
Главная ошибка (ошибка Даламбера) — принять за равновозможные исходы события, которые на самом деле не элементарны и имеют разную вероятность («монеты выпали на разные стороны» — это два исхода ОР и РО). Чтобы её избежать, при подсчёте исходов нужно различать сами предметы (пронумеровать шары, монеты, кубики), а не их цвета и другие свойства. Порядок извлечения можно учитывать или не учитывать — оба способа дают одинаковый ответ, если применять их последовательно и к общему числу исходов, и к благоприятным.
Таблица исходов для двух кубиков
Исходы опыта с двумя кубиками удобно записывать в таблицу \( 6 \times 6 \): строка — очки на первом кубике, столбец — на втором, всего 36 равновозможных клеток. Чтобы найти вероятность любого события, достаточно выделить благоприятные клетки, посчитать их и разделить на 36. Например, «на красном кубике больше очков, чем на зелёном» — 15 клеток, вероятность \( \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
