Используем свойство \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \) и \( \sqrt[n]{a^n} = a \) для преобразования корня.
Шаг 1: Представим показатели в виде произведения, чтобы сократить показатель корня и подкоренного выражения. Наибольший общий делитель чисел 12 и 42 — 6. \( \sqrt[12]{6^{42}} = \sqrt[6 \cdot 2]{6^{6 \cdot 7}} \).
Шаг 2: Сократим показатель корня и подкоренного выражения на 6: \( \sqrt[2]{6^7} = \sqrt{6^7} \).
Используем свойство \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \) для упрощения корня.
Шаг 1: Сократим показатель корня (8) и показатель подкоренного выражения (4) на 4: \( \sqrt[8]{225^4} = \sqrt[2]{225^1} = \sqrt{225} \).
Шаг 2: Вычислим квадратный корень. Известно, что \( 15^2 = 225 \): \( \sqrt{225} = 15 \).
Ответ: \( 15 \).
Что применять при решении
Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
