Используем свойство корня нечётной степени из отрицательного числа: \( \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{|a|} \). Здесь \( 2k+1 = 3 \) (нечётная степень) и \( -a = -8 \), то есть \( a = 8 \).
Шаг 2: Вычислим арифметический корень: \( \sqrt[3]{8} = 2 \), так как \( 2^3 = 8 \).
Шаг 3: Получим окончательный результат: \( -2 \).
Ответ: \( -2 \).
2)
\( \sqrt[15]{-1} \)
Ответ
Используем свойство корня нечётной степени из отрицательного числа: \( \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{|a|} \). Здесь \( 2k+1 = 15 \) (нечётная степень) и \( -a = -1 \), то есть \( a = 1 \).
Шаг 2: Вычислим арифметический корень: \( \sqrt[15]{1} = 1 \), так как \( 1^{15} = 1 \).
Шаг 3: Получим окончательный результат: \( -1 \).
Ответ: \( -1 \).
3)
\( \sqrt[3]{-\frac{1}{27}} \)
Ответ
Используем свойство корня нечётной степени из отрицательного числа: \( \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{|a|} \). Здесь \( 2k+1 = 3 \) (нечётная степень) и \( -a = -\frac{1}{27} \), то есть \( a = \frac{1}{27} \).
Здесь показатель корня \( n=4 \) — чётное число, а подкоренное выражение \( -1024 \) — отрицательное число. Арифметический корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел.
Шаг 1: Определяем тип корня и знак подкоренного выражения. Корень чётной степени из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.
Ответ: Выражение не имеет смысла в области действительных чисел.
5)
\( \sqrt[5]{-34^3} \)
Ответ
Используем свойство корня нечётной степени из отрицательного числа: \( \sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{|a|} \).
Здесь показатель корня \( n=6 \) — чётное число. Подкоренное выражение \( -8^7 \) является отрицательным числом (поскольку \( 8^7 \) — положительное, а перед ним стоит минус). Арифметический корень чётной степени определён только для неотрицательных чисел.
Шаг 1: Определяем тип корня и знак подкоренного выражения. Корень чётной степени из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.
Ответ: Выражение не имеет смысла в области действительных чисел.
Что применять при решении
Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
