ГДЗ: Упражнение 49 - Параграф § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

49 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \sqrt[3]{\frac{a}{8}} + (\sqrt[3]{a})^3 \)

Ответ

Упростим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое: \( \sqrt[3]{\frac{a}{8}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{2} \).
Второе слагаемое: \( (\sqrt[3]{a})^3 = a \).
Сложение: \( \frac{\sqrt[3]{a}}{2} + a \).

Ответ: \( \frac{\sqrt[3]{a}}{2} + a \).

2) \( \sqrt[3]{(\sqrt{x})^2} + 2 \sqrt[4]{(\sqrt{x})^4} \)

Ответ

Упростим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое: \( \sqrt[3]{(\sqrt{x})^2} = \sqrt[3]{x} \). (По сноске \({}^1\) \( x \ge 0 \)).
Второе слагаемое: \( 2 \sqrt[4]{(\sqrt{x})^4} = 2 \sqrt[4]{x^2} \). Используем \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \): \( 2 \sqrt[2\cdot 2]{x^{2 \cdot 1}} = 2 \sqrt{x} \).
Сложение: \( \sqrt[3]{x} + 2 \sqrt{x} \).

Ответ: \( \sqrt[3]{x} + 2\sqrt{x} \).

3) \( \sqrt[3]{x^6 y^6} - (\sqrt[3]{x y^2})^5 \)

Ответ

Упростим каждое слагаемое отдельно. По сноске \({}^1\) \( x, y > 0 \).

Первое слагаемое: \( \sqrt[3]{x^6 y^6} = \sqrt[3]{(x^2 y^2)^3} = x^2 y^2 \).
Второе слагаемое: \( (\sqrt[3]{x y^2})^5 = \sqrt[3]{(x y^2)^5} = \sqrt[3]{x^5 y^{10}} \). Вынесем множители: \( \sqrt[3]{x^3 \cdot x^2 \cdot y^9 \cdot y} = x y^3 \sqrt[3]{x^2 y} \).
Вычитание: \( x^2 y^2 - x y^3 \sqrt[3]{x^2 y} \).

Ответ: \( x^2 y^2 - x y^3\sqrt[3]{x^2 y} \).

4) \( \left( \sqrt[5]{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}} - \sqrt[5]{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}} \right) : \frac{1}{\sqrt[10]{a^2}} \)

Ответ

Упростим выражение в скобках. По сноске \({}^1\) \( a > 0 \).

Шаг 1: Внутри скобок выражения одинаковы: \( \sqrt[5]{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}} = \sqrt[5]{1} = 1 \).
Шаг 2: Вычитание в скобках: \( 1 - 1 = 0 \).
Шаг 3: Деление на любое ненулевое число (\( \frac{1}{\sqrt[10]{a^2}} \ne 0 \) при \( a > 0 \)): \( 0 : \frac{1}{\sqrt[10]{a^2}} = 0 \).

Ответ: \( 0 \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени

Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.

Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).

Корень нечётной степени из отрицательного числа

Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:

\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)

Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))

Основные свойства для преобразования выражений с корнями.

1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Корень чётной степени из степени

Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:

\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: § 4 — Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.