Разложим числитель и знаменатель каждой дроби, используя формулу разности квадратов \( x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \) и вынесение общего множителя. По сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \).
Шаг 2: Упростим числитель и знаменатель второй дроби: Числитель: \( \sqrt{a} + \sqrt{ab} = \sqrt{a}(1 + \sqrt{b}) \) — неверно. Числитель: \( \sqrt{a} + \sqrt{ab} = \sqrt[4]{a^2} + \sqrt[4]{a^2 b^2} \). Вынесем \( \sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a} \): \( \sqrt{a} (1 + \sqrt{b}) \) — нерационально. Предположим, что числитель должен быть \( a + \sqrt{ab} \) или \( \sqrt{a} + \sqrt[4]{a^2 b} \).
Шаг 3: Сделаем предположение, что во втором числителе опечатка и он должен быть \( a + \sqrt{ab} \). Тогда \( a + \sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt[4]{a^2})(\sqrt[4]{a^2} + \sqrt[4]{b^2}) \). Не подходит.
Шаг 4: Упростим числитель второй дроби по исходному тексту: \( \sqrt{a} + \sqrt{a b} = \sqrt{a} (1 + \sqrt{b}) \). Вторая дробь: \( \frac{\sqrt{a} (1 + \sqrt{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \). Не упрощается.
Упростим выражение, используя формулу суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) и вынесение общего множителя.
Шаг 1: Упростим первый множитель в скобках. Предположим, что в знаменателе опечатка и должно быть \( \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} \). Первый множитель: \( \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = \frac{a + b}{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} \). Не подходит.
Шаг 2: Упростим числитель второго множителя в скобках: \( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a b} = \sqrt[3]{a} (1 + \sqrt[3]{b}) \).
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
