ГДЗ: Упражнение 38 - Параграф § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

38 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \sqrt[3]{2 a^3 b^2} \cdot \sqrt[3]{4 a^2 b} \)

Ответ

Используем свойство произведения корней с одинаковым показателем: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[3]{2 a^3 b^2 \cdot 4 a^2 b} = \sqrt[3]{(2 \cdot 4) \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b)} = \sqrt[3]{8 a^5 b^3} \).
Шаг 2: Разложим корень на множители: \( \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{a^5} \cdot \sqrt[3]{b^3} \).
Шаг 3: Вычислим: \( \sqrt[3]{8} = 2 \). \( \sqrt[3]{b^3} = b \). \( \sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a^2} = a \sqrt[3]{a^2} \). (Поскольку показатель корня нечётный, модуль не нужен. По сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \)).
Шаг 4: Перемножим результаты: \( 2 \cdot a \sqrt[3]{a^2} \cdot b = 2 a b \sqrt[3]{a^2} \).

Ответ: \( 2 a b \sqrt[3]{a^2} \).

2) \( \sqrt[3]{3 a^2 b^3} \cdot \sqrt[3]{9 a b^4} \)

Ответ

Используем свойство произведения корней с одинаковым показателем: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[3]{3 a^2 b^3 \cdot 9 a b^4} = \sqrt[3]{(3 \cdot 9) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b^3 \cdot b^4)} = \sqrt[3]{27 a^3 b^7} \).
Шаг 2: Разложим корень на множители: \( \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^7} \).
Шаг 3: Вычислим: \( \sqrt[3]{27} = 3 \). \( \sqrt[3]{a^3} = a \). \( \sqrt[3]{b^7} = \sqrt[3]{b^6 \cdot b} = b^2 \sqrt[3]{b} \). (По сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \)).
Шаг 4: Перемножим результаты: \( 3 \cdot a \cdot b^2 \sqrt[3]{b} = 3 a b^2 \sqrt[3]{b} \).

Ответ: \( 3 a b^2 \sqrt[3]{b} \).

3) \( \frac{\sqrt[4]{a b}}{\sqrt[4]{c}} \cdot \frac{\sqrt[4]{a^2 c}}{\sqrt[4]{b^2}} \cdot \frac{\sqrt[4]{a b^2}}{\sqrt[4]{c^2}} \)

Ответ

Используем свойство произведения и частного корней с одинаковым показателем: \( \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \) и \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

Шаг 1: Объединим всё под один знак корня: \( \sqrt[4]{\frac{a b}{c} \cdot \frac{a^2 c}{b^2} \cdot \frac{a b^2}{c^2}} \).
Шаг 2: Умножим дроби, сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе: \( \sqrt[4]{\frac{a \cdot b \cdot a^2 \cdot c \cdot a \cdot b^2}{c \cdot b^2 \cdot c^2}} \).
Шаг 3: Сократим и соберём степени: \( \sqrt[4]{\frac{a^{1+2+1} b^{1+2} c^1}{b^2 c^{1+2}}} = \sqrt[4]{\frac{a^4 b^3 c}{b^2 c^3}} \).
Шаг 4: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[4]{a^4 b^{3-2} c^{1-3}} = \sqrt[4]{a^4 b^1 c^{-2}} = \sqrt[4]{\frac{a^4 b}{c^2}} \).
Шаг 5: Разложим корень: \( \frac{\sqrt[4]{a^4 b}}{\sqrt[4]{c^2}} = \frac{\sqrt[4]{a^4} \sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{c^2}} \).
Шаг 6: Вычислим корни. По сноске \({}^1\) \( a, b, c > 0 \): \( \frac{a \sqrt[4]{b}}{\sqrt{c}} \).

Ответ: \( \frac{a \sqrt[4]{b}}{\sqrt{c}} \).

4) \( \sqrt[3]{\frac{16 a^3 b}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{2 a b^2}{2 a b}} \)

Ответ

Используем свойство произведения корней с одинаковым показателем: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[3]{\frac{16 a^3 b}{b^2} \cdot \frac{2 a b^2}{2 a b}} \).
Шаг 2: Сократим множители в подкоренном выражении: \( \frac{16 a^3 b}{b^2} \cdot \frac{2 a b^2}{2 a b} = \frac{16 a^3}{b} \cdot \frac{b}{1} = 16 a^3 \).
Шаг 3: Запишем упрощенное выражение: \( \sqrt[3]{16 a^3} \).
Шаг 4: Разложим корень: \( \sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{a^3} \).
Шаг 5: Упростим: \( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2 \sqrt[3]{2} \). \( \sqrt[3]{a^3} = a \).
Шаг 6: Перемножим результаты: \( 2 \sqrt[3]{2} \cdot a = 2 a \sqrt[3]{2} \). (По сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \)).

Ответ: \( 2 a \sqrt[3]{2} \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени

Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.

Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).

Корень нечётной степени из отрицательного числа

Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:

\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)

Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))

Основные свойства для преобразования выражений с корнями.

1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Корень чётной степени из степени

Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:

\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: § 4 — Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.