ГДЗ: Упражнение 41 - Параграф § 4 (Арифметический корень натуральной степени) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

41 упражнение:

Упростить выражение:

1) \( \sqrt[5]{a^6 b^7} : \sqrt[5]{a b^2} \)

Ответ

Используем свойство частного корней: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[5]{\frac{a^6 b^7}{a b^2}} \).
Шаг 2: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[5]{a^{6-1} b^{7-2}} = \sqrt[5]{a^5 b^5} \).
Шаг 3: Разложим корень: \( \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{b^5} \).
Шаг 4: Вычислим: \( a \cdot b \). (По сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \)).

Ответ: \( a b \).

2) \( \sqrt[3]{81 x^4 y} : \sqrt[3]{3 x y} \)

Ответ

Используем свойство частного корней: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[3]{\frac{81 x^4 y}{3 x y}} \).
Шаг 2: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[3]{27 x^{4-1} y^{1-1}} = \sqrt[3]{27 x^3} \).
Шаг 3: Разложим корень: \( \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{x^3} \).
Шаг 4: Вычислим: \( 3 \cdot x \). (По сноске \({}^1\) \( x > 0 \)).

Ответ: \( 3 x \).

3) \( \sqrt[3]{\frac{3 x}{y^2}} : \sqrt[3]{\frac{9 x^2}{y^2}} \)

Ответ

Используем свойство частного корней: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[3]{\frac{3 x}{y^2} : \frac{9 x^2}{y^2}} = \sqrt[3]{\frac{3 x}{y^2} \cdot \frac{y^2}{9 x^2}} \).
Шаг 2: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[3]{\frac{3 x \cdot y^2}{y^2 \cdot 9 x^2}} = \sqrt[3]{\frac{3 x}{9 x^2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{3 x}} \).
Шаг 3: Избавимся от корня в знаменателе (умножим числитель и знаменатель на \( 9 x^2 \) под корнем): \( \sqrt[3]{\frac{1 \cdot 9 x^2}{3 x \cdot 9 x^2}} = \sqrt[3]{\frac{9 x^2}{27 x^3}} \) — нерационально.
Шаг 3 (простой вариант): \( \sqrt[3]{\frac{1}{3 x}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 x}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3 x}} \).
Шаг 4: Избавимся от корня в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt[3]{(3 x)^2} = \sqrt[3]{9 x^2} \): \( \frac{1 \cdot \sqrt[3]{9 x^2}}{\sqrt[3]{3 x} \cdot \sqrt[3]{9 x^2}} = \frac{\sqrt[3]{9 x^2}}{\sqrt[3]{27 x^3}} = \frac{\sqrt[3]{9 x^2}}{3 x} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt[3]{9 x^2}}{3 x} \).

4) \( \sqrt[4]{\frac{2 b}{a^3}} : \sqrt[4]{\frac{8 b^4}{8 a^3}} \)

Ответ

Используем свойство частного корней: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \).

Шаг 1: Объединим корни: \( \sqrt[4]{\frac{2 b}{a^3} : \frac{8 b^4}{8 a^3}} = \sqrt[4]{\frac{2 b}{a^3} \cdot \frac{8 a^3}{8 b^4}} \).
Шаг 2: Упростим подкоренное выражение: \( \sqrt[4]{\frac{2 b \cdot 8 a^3}{a^3 \cdot 8 b^4}} \).
Шаг 3: Сократим: \( \sqrt[4]{\frac{2 b}{b^4}} = \sqrt[4]{\frac{2}{b^3}} \). (По сноске \({}^1\) \( a, b > 0 \)).
Шаг 4: Избавимся от корня в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt[4]{b} \): \( \frac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{b^3} \cdot \sqrt[4]{b}} = \frac{\sqrt[4]{2 b}}{\sqrt[4]{b^4}} = \frac{\sqrt[4]{2 b}}{b} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt[4]{2 b}}{b} \).

Что применять при решении

Определение арифметического корня n-й степени

Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.

Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).

Корень нечётной степени из отрицательного числа

Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:

\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)

Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))

Основные свойства для преобразования выражений с корнями.

1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)

Корень чётной степени из степени

Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:

\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.

Другие упражнения из параграфа § 4

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: § 4 — Арифметический корень натуральной степени
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.