Шаг 4: Поскольку коэффициент при \( x^2 \) (это 2) положителен, парабола направлена ветвями вверх. Неравенство \( 2 x^2 - x - 1 \ge 0 \) выполняется вне интервала между корнями.
Шаг 5: Получим ответ: \( x \le -\frac{1}{2} \) или \( x \ge 1 \).
Ответ: \( x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right] \cup [1; +\infty) \).
4)
\( \sqrt[4]{\frac{2 - 3 x}{2 x - 4}} \)
Ответ
Корень чётной степени \( n=4 \) определён только для неотрицательных чисел. Кроме того, знаменатель не может быть равен нулю.
Шаг 1 (Условие на подкоренное выражение): \( \frac{2 - 3 x}{2 x - 4} \ge 0 \).
Шаг 2 (Условие на знаменатель): \( 2 x - 4 \ne 0 \), то есть \( x \ne 2 \).
Шаг 3: Для решения рационального неравенства найдём нули числителя и знаменателя. Числитель: \( 2 - 3 x = 0 \Rightarrow 3 x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \). (Точка закрашенная). Знаменатель: \( 2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \). (Точка выколотая).
Шаг 4: Используем метод интервалов. Проверим знак выражения на интервалах \( (-\infty; \frac{2}{3}) \), \( (\frac{2}{3}; 2) \), \( (2; +\infty) \). Например, при \( x = 0 \): \( \frac{2 - 0}{0 - 4} = -\frac{2}{4} < 0 \). Например, при \( x = 1 \): \( \frac{2 - 3}{2 - 4} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} > 0 \). Например, при \( x = 3 \): \( \frac{2 - 9}{6 - 4} = \frac{-7}{2} < 0 \).
Шаг 5: Неравенство \( \frac{2 - 3 x}{2 x - 4} \ge 0 \) выполняется, когда выражение положительно или равно нулю. Это интервал \( [\frac{2}{3}; 2) \).
Ответ: \( x \in \left[\frac{2}{3}; 2\right) \).
Что применять при решении
Определение арифметического корня n-й степени
Арифметическим корнем натуральной степени \(n \ge 2\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Число \(a\) называется подкоренным выражением.
Если \( a \ge 0 \), \( n \ge 2 \) — натуральное число, то \( \sqrt[n]{a} = b \) означает, что \( b \ge 0 \) и \( b^n = a \).
Корень нечётной степени из отрицательного числа
Для любого нечётного натурального числа \( 2k + 1 \) и \( a < 0 \) уравнение \( x^{2k + 1} = a \) имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень называют корнем нечётной степени из отрицательного числа. Корень нечётной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа \( |a| \) следующим равенством:
\( \sqrt[2k + 1]{-a} = -\sqrt[2k + 1]{|a|} \)
Свойства арифметического корня n-й степени (\( a \ge 0, b \ge 0 \))
Основные свойства для преобразования выражений с корнями.
1. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \)
2. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) (при \( b \ne 0 \))
3. \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
4. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \)
5. \( \sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Корень чётной степени из степени
Для любого значения \( a \) справедливо равенство, если показатель корня чётный:
\( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), где \( k \) — натуральное число.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
