ГДЗ: Упражнение 1072 - Параграф § 62 (Размещения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1) \( A_4^1 \)

Ответ

Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

Число размещений \( A_m^n \) вычисляется по формуле: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).

В нашем случае \( m = 4 \) и \( n = 1 \).

Подставляем значения в формулу: \( A_4^1 = \frac{4!}{(4 - 1)!} = \frac{4!}{3!} \).

Шаг 2: Вычисляем факториалы и сокращаем.

Напоминаем, что \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \). Следовательно, \( 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \) и \( 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \).

Запишем \( 4! \) как \( 4 \cdot 3! \).

\( A_4^1 = \frac{4 \cdot 3!}{3!} \)

Сокращаем \( 3! \) в числителе и знаменателе.

\( A_4^1 = 4 \)

Ответ:

\( A_4^1 = 4 \)

2) \( A_5^1 \)

Ответ

Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).

Здесь \( m = 5 \) и \( n = 1 \).

Подставляем: \( A_5^1 = \frac{5!}{(5 - 1)!} = \frac{5!}{4!} \).

Шаг 2: Вычисляем факториалы и сокращаем.

Записываем \( 5! \) как \( 5 \cdot 4! \).

\( A_5^1 = \frac{5 \cdot 4!}{4!} \)

Сокращаем \( 4! \).

\( A_5^1 = 5 \)

Общее правило: \( A_m^1 = \frac{m!}{(m - 1)!} = \frac{m \cdot (m - 1)!}{(m - 1)!} = m \).

Ответ:

\( A_5^1 = 5 \)

3) \( A_5^3 \)

Ответ

Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).

Здесь \( m = 5 \) и \( n = 3 \).

Подставляем: \( A_5^3 = \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{5!}{2!} \).

Шаг 2: Вычисляем факториалы.

\( 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \).

\( 2! = 1 \cdot 2 = 2 \).

Шаг 3: Вычисляем отношение.

\( A_5^3 = \frac{120}{2} = 60 \)

Альтернативный способ (через произведение): \( A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \). Это произведение \( n=3 \) последовательно убывающих целых чисел, начиная с \( m=5 \).

Ответ:

\( A_5^3 = 60 \)

4) \( A_5^2 \)

Ответ

Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).

Здесь \( m = 5 \) и \( n = 2 \).

Подставляем: \( A_5^2 = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} \).

Шаг 2: Вычисляем факториалы и сокращаем.

Записываем \( 5! \) как \( 5 \cdot 4 \cdot 3! \).

\( A_5^2 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} \)

Сокращаем \( 3! \).

\( A_5^2 = 5 \cdot 4 = 20 \)

Ответ:

\( A_5^2 = 20 \)

5) \( A_7^5 \)

Ответ

Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).

Здесь \( m = 7 \) и \( n = 5 \).

Подставляем: \( A_7^5 = \frac{7!}{(7 - 5)!} = \frac{7!}{2!} \).

Шаг 2: Вычисляем факториалы.

\( 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040 \).

\( 2! = 2 \).

Шаг 3: Вычисляем отношение.

\( A_7^5 = \frac{5040}{2} = 2520 \)

Альтернативный способ (через произведение): \( A_7^5 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520 \). (Произведение \( n=5 \) последовательно убывающих целых чисел, начиная с \( m=7 \)).

Ответ:

\( A_7^5 = 2520 \)

6) \( A_{10}^3 \)

Ответ

Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).

Здесь \( m = 10 \) и \( n = 3 \).

Подставляем: \( A_{10}^3 = \frac{10!}{(10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} \).

Шаг 2: Вычисляем факториалы и сокращаем.

Записываем \( 10! \) как \( 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! \).

\( A_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} \)

Сокращаем \( 7! \).

\( A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \)

Ответ:

\( A_{10}^3 = 720 \)

7) \( A_{10}^2 \)

Ответ

Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).

Здесь \( m = 10 \) и \( n = 2 \).

Подставляем: \( A_{10}^2 = \frac{10!}{(10 - 2)!} = \frac{10!}{8!} \).

Шаг 2: Вычисляем факториалы и сокращаем.

Записываем \( 10! \) как \( 10 \cdot 9 \cdot 8! \).

\( A_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8!} \)

Сокращаем \( 8! \).

\( A_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90 \)

Ответ:

\( A_{10}^2 = 90 \)

8) \( A_{10}^0 \)

Ответ

Шаг 1: Применяем формулу для числа размещений.

Используем формулу: \( A_m^n = \frac{m!}{(m - n)!} \).

Здесь \( m = 10 \) и \( n = 0 \).

Подставляем: \( A_{10}^0 = \frac{10!}{(10 - 0)!} = \frac{10!}{10!} \).

Шаг 2: Вычисляем отношение.

\( A_{10}^0 = 1 \)

Общее правило: \( A_m^0 = 1 \). Это означает, что из \( m \) элементов можно составить только одно "соединение" из 0 элементов (пустое множество).

Ответ:

\( A_{10}^0 = 1 \)

1072 упражнение:

Что применять при решении

Определение размещений

Число всевозможных размещений

Формула для вычисления числа размещений

Связь между \( A_m^n \) и факториалом

Определение факториала нуля

Другие упражнения из параграфа § 62

Данные параграфа

Уведомление об авторском праве и цитировании